Бикватернионы как алгебра Клиффорда

Можно ли найти соответствие алгебре бикватернионов подходящей ей алгебре Клиффорда и найти соответствие мнимых единиц? Попробуем разобраться.

Для понимания что такое алгебры Клиффорда отметим важные для нашей задачи части их определения. В качестве основы алгебра строится на базисных единицах с общепринятыми правилами покомпонентного равенства нескольких чисел алгебры, равных между собой и независимости коэффициентов при мнимых единицах.

Базисные единицы обозначают общепринятым способом через $$ \begin{array}{cccc} e_1 & e_2 & \ldots & e_n \end{array} $$ Здесь $n$ - максимальное значение, кторое может принимать индекс базисной единицы.

Кроме этих, алгебры Клиффорда всегда содержат базисную единицу $e_0$, имеющую свойство единицы $$ \begin{array}{c} e_0e_i=e_ie_0 \\ e_0^2=1 \\ e_0=1 \end{array} $$ То есть алгебры Клиффорда являются алгебрами с единицей.

На основе базового набора из $n$ одноиндексных единиц сторятся их произведения, также образующие базисные единицы, например: $$ \begin{array}{c} e_ie_j=e_{ij} \\ e_{ij}e_k=e_{ijk} \end{array} $$ Число алгебры Клиффорда есть агрегат (сумма) таких различных базисных единиц с соответствующими им коэффициентами.

Например, при $n=1$ число, или агрегат, представляется как $$ a_0e_0+a_1e_1 $$ При $n=2$: $$ a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2+a_{12}e_{12} $$ Здесь 12 означает два числа, одно 1, другое 2, а не одно двузначное число 12.

Теперь перейдем к отдельным свойствам базисных единиц, которые нам пригодятся.

Если индекс единицы не равен 0, то квадтар такой единицы равен: $$ e_ie_i=e_{ii} $$ Если в последовательности индексов встречаются одинаковые, то пара сокращается, полагая что: $$ e_{ii}=1 $$ Соответственно, если бы было число $e_{iijk}$ то оно сокращалось бы до $e_{jk}$. Если пара совпадающих индексов встречается, то неважно, в каком месте последовательности индексов: $$ e_{iijk}=e_{jiik}=e_{jkii}=e_{jk} $$ К другому правилу, которое пригодится, относится правило перестановки индексов. А именно, если индексы различны, то их можно переставлять местами с ссоседними, сменив при этом знак единицы: $$ e_{ij}=-e_{ji} $$ Из правила сокращения парных и стоящих рядом индексов следует правило, что алгебры Клиффорда с обязательностью содержат по меньшей мере одну единицу, которая в квадрате равна 1. А в сочетании с вторым правилом следует вывод, что алгебры Клиффорда не содержат единиц, которые в квадрате равны 0. Их квадраты должны быть либо +1 либо -1.

Среди единиц получаемых агрегатов содержится одна, имеющая максимальное число различных индексов $n$. Например, для $n=3$ это единица $$ e_{123} $$ В силу того, что при произведениях образующих базисную единицу число индексов может быть больше $n$ и они сокращаются, их общее число не может превысить $n$. При этом в выбранной алгебре Клиффорда существует лишь одна единица, содержащая $n$ индексов.

В зависимости от четности $n$ базисная единица $$ e_{12\cdots n} $$ либо антикоммутирует с любой единицей при четном $n$ либо коммутирует при нечетном $n$.

Например, если $n=3$, то $$ \begin{array}{c} e_1e_{123}=e_{123}e_1 = e_{23} \\ e_{23}e_{123}=e_{123}e_{23} = -e_1 \end{array} $$ И при $n=4$: $$ e_1e_{1234}=-e_{1234}e_1 $$ Теперь попробуем найти соответствие мнимых единиц бикватерниона $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ единицам алгебры Клиффорда. Здесь $I$, $i$, $j$ и $k$ - мнимые единицы, $x_i$ - коэффициенты.

Действительной единице бикватернионов очевидно соответствует единица $e_0$. Поскольку алгебры Клиффорда описывают числа у которых по меньшей мере одна из единиц в квадрате равна 1, они описывают алгебры с делителями нуля. Бикватернионы соответствуют этому правилу.

По числу мнимых единиц в силу линейной независимости компонент при них искомой алгеброй Клиффорда может быть алгебра с агрегатами: $$ \begin{array}{cccccccc} e_0 & e_1 & e_2 & e_3 & e_12 & e23 & e13 & e123 \end{array} $$ В этой группе выделяется единица $e_{123}$, которая в силу нечетности $n$ должна коммутировать с другими. Проверим её квадрат: $$ \begin{array}{c} e_{123}e_{123}=e_{123123}=-e_{121323}=\\ =e_{112323}=e_{2323}=-e_{2233}=-1 \end{array} $$ По своим свойствам эта единица соответствует мнимой единице бикватернионов $I$.

Далее обращают на себя внимание единицы $$ \begin{array}{ccc} e_{12} & e_{23} & e_{13} \end{array} $$ своей цикличностью умножения $$ \begin{array}{c} e_{12}e_{23}=e_{13} \\ e_{23}e_{13}=-e_{21}=e_{12} \end{array} $$ По своим коммутационным свойствам они соответствуют мнимым единицам бикватернионов $i$, $j$ и $k$. В качестве одного из вариантов (их может быть несколько) для определенности зафиксируем порядок: $$ \begin{array}{ccc} e_{12} &\leftrightarrow &i \\ e_{23} &\leftrightarrow &j \\ e_{13} &\leftrightarrow &k \end{array} $$ И для установления соответствия единицам $e_1$, $e_2$ и $e_3$ умножим единицы $e_{12}$, $e_{23}$ и $e_{13}$ на единицу $e_{123}$: $$ \begin{array}{c} e_{123}e_{23}=-e_1 \\ e_{123}e_{13}=e_2 \\ e_{123}e_{12}=-e_3 \end{array} $$ Соответственно, этим единицам в соответствие должны быть поставлены единицы бикватернионов $Ii$, $Ij$ и $Ik$: $$ \begin{array}{ccc} e_1 &\leftrightarrow &-Ij \\ e_2 &\leftrightarrow &Ik \\ e_3 &\leftrightarrow &-Ii \end{array} $$ Для всех найденных соответствий полностью сохраняются как правила коммутации, так и результаты взятия квадратов, +1 или -1.

Итого, полный список отображений мнимых единиц алгебры Клиффорда на единицы бикватернионов может быть как один из вариантов следующий: $$ \begin{array}{ccc} e_0 &\leftrightarrow &1 \\ e_1 &\leftrightarrow &-Ij \\ e_2 &\leftrightarrow &Ik \\ e_3 &\leftrightarrow &-Ii \\ e_{12} &\leftrightarrow &i \\ e_{23} &\leftrightarrow &j \\ e_{13} &\leftrightarrow &k \\ e_{123} &\leftrightarrow &I \end{array} $$ Некоторое любопытство может представлять также вопрос, чему соответствует алгебра Клиффорда при $n=2$: $$ \begin{array}{cccc} e_0 & e_1 & e_2 & e_12 \end{array} $$ В этой алгебре первая единица очевидно соответствует действительной 1, единицы $e_1$ и $e_2$ в квадрате равны +1 и по умножению не коммутируют. При этом единица $e_{12}$ в квадрате равна -1 и по умножению не коммутирует ни с $e_1$, ни с $e_2$.

В алгебрах Кэли-Диксона таким соотношениям соответствует алгебра кокватернионов: $$ \begin{array}{cccc} 1 & Ii & Ij & k \end{array} $$ Как один из вариантов, таблица соответствия единиц алгебры Клиффорда алгебре кокватернионов может быть такой: $$ \begin{array}{cc} e_0 & 1 \\ e_1 & Ii \\ e_2 & Ij \\ e_{12} & -k \end{array} $$ В силу того, что единиц три и их произведения цикличны и в силу того что $-1^2=1$ возможны также варианты с одновременной сменой знаков у двух мнимых единиц: $$ \begin{array}{ccccc} e_0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ e_1 & Ii & -Ii & Ii & - Ii \\ e_2 & Ij & -Ij & -Ij & Ij \\ e_{12} & -k & -k & k & k \end{array} $$ В отличие от алгебр Кэли-Диксона алгебры Клиффорда в некотором смысле утрачивают физику свойств мнимых единиц. В частности, в этих алгебрах нет понятия левой или правой системы координат. Также выглядит сомнительной идея обобщенной формулировки модуля, скалярного произведения, обобщенного правила вычисления обратного для произвольно заданного $n$.

В некотором смысле алгебры Клиффорда есть небольшой шаг из геометрических операций сложения в мир алгебр, добавив операцию умножения как построения агрегата. И, конечно, в алгебрах Клиффорда не найдутся аналоги алгебр без делителей нуля, если не прибегать к изобретательным шаманствам, например со специальными мнимыми единицами, существующими лишь у определенных базисных единиц. Например, для того, чтобы алгебру кокватернионов начать считать алгеброй кватернионов. Впрочем, алгебры Клиффорда могут оказаться весьма полезны там, где они акцентируют внимание на каких-либо ценных свойствах.

П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)