Формы делителей нуля

В предыдущих рассуждениях, имея дело с делителями нуля, мы сталкивались с делителями нуля то в одном виде, то в другом. Одни имеют скалярную часть, другие нет. Сколько всего форм у делителей нуля в бикватернионах и каковы они? Попробуем разобраться.

Самая первая форма, присутствующая еще в бикомплексных и паракомплексных числах, есть форма $$ 1+Ii $$ Здесь и далее будет подразумеваться, если не говорится иное, что число может быть умножено на произвольное действительное число кроме конечно нуля: $$ \alpha(1+Ii) $$ Если мы выберем в пространстве $i$, $j$, $k$ векторы единичной величины $$ \begin{array}{c} v_1=v_{1x}i+v_{1y}j+v_{1z}k \\ v_2=v_{2x}i+v_{2y}j+v_{2z}k \end{array} $$ таким образом, что они перпендикулярны друг другу, то можем заменить без потери смысла $$ \begin{array}{c} v_1=\pm i \\ v_2=\pm j \end{array} $$ Все остальные значения, важные для умножения, мы можем получить вращениями одной из этих комбинаций.

Умножая исходное значение $$ 1+Ii $$ на различные мнимые единицы, в том числе $I$, на векторы $v_1$ и $v_2$ (представленные условными $i$ и $j$), мы получим число одного из подпространств (опуская действительный множитель):

1) Скалярно-полярная форма: $$ 1+Ii $$ 2) Псевдоскалярно-аксиальная $$ I+i $$ 3) Полярно-аксиальная $$ Ii+j $$ Умножая исходную величину $$ 1+Ii $$ не на одно число, а на сумму из двух, получим: $$ (1+Ii)(1+I)=1+I+Ii+i $$ Этот вариант образует четвертый вариант, как сумму из первого и второго.

Умножая на аксиальное число, но другое: $$ (1+Ii)(1+i)=1+i+Ii-I $$ Этот вариант лежит в том же (условном) пространстве, что и четвертый.

И, умножая на пару чисел с перпендикулярной единицей, получим: $$ (1+Ii)(1+j)=1+j+Ii+Ik $$ Это пятый вариант.

Что любопытно, для выражения четвертого варианта достаточно бикомплексных чисел, а для пятого - кокватернионов (обе алгебры есть подалгебры бикватернионов).

Итого, всего существует 5 форм или подпространств, в которых определяются делители нуля.