Мы уже привыкли, что в группу преобразований Лоренца входят преобразования 3-мерных вращений и пространственно-временных вращений. И что они задаются непрерывными параметрами. Но в группу преобразований, сохраняющих инвариантным интервал, входят ещё и преобразования, не имеющие непрерывного параметра. Попробуем разобраться.
Начнем с простого. Положим, что у нас есть величина $a$. И нам требуется найти, при умножении каких чисел на эту величину сохраняется инвариантной величина $a^2$. Для этого решим уравнение: $$ (xa)^2=a^2 $$ Соответственно, величина оператора преобразования $a$ может принимать 2 значения: $$ x=1 $$ $$ x=-1 $$ При этом в первом варианте как-бы и нет необходимости, поскольку его можно заменить на второй в четной степени.
Таким образом, чтобы величина $a^2$ сохранялась инвариантной, мы можем умножать величину $a$ на оператор $$ C=-1 $$ сколько угодно раз: $$ ((-1)^na)^2=a^2 $$ Произвольная композиция таких операторов также сохраняет величину $a^2$ инвариантной, и это выражение верно независимо от значения $n$.
Теперь поднимем градус и перейдем к двумерному числу $$ x=(x_0,x_1) $$ для которого преобразования должны сохранять величину $$ x_0^2-x_1^2 $$ Рассуждая по аналогии с вышеприведенным случаем, мы можем каждую компоненту $x_i$ умножать независимо от другой компоненты на $\pm 1$. $$ (\pm_0x_0)^2-(\pm_1x_1)^2=x_0^2-x_1^2 $$ Здесь индексами у знаков $\pm$ отмечена их независимость друг от друга. Поскольку каждая операция смены знака у компоненты числа есть операция, линейная по компонентам числа $x_i$, то они представимы в матричной форме. Пусть число $x$ представляется вектором $$ \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \end{array}\right) $$ тогда числа - коэффициенты таких инверсных преобразований представляются матрицами: $$ C_0=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_1=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $$ Очевидно, что для таких матриц инвертирования компонент выполняются соотношения: $$ C_i^2=1 $$ $$ C_iC_j=C_jC_i $$ $$ \prod\limits_{i=0}^nC_i=-1 $$ Свойства у таких операторов, возможно, и не столь сильные как у непрерывных преобразований Лоренца, но тем не менее они есть.
Поскольку каждое из таких преобразований сохраняет инвариант $$ x_0^2-x_1^2 $$ то этот же инвариант сохраняется и при их композиции, причем произвольной, с непрерывными вращениями группы Лоренца, например для 2-мерного интервала это $$ L(\psi_1)=\left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ Композиции этого преобразования с инверсными также сохраняют инвариант: $$ x_0^2-x_1^2 $$ Например: $$ C_1L(\psi_1)= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ $$ L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ $$ C_1L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ Да, эти матрицы также представляют преобразования Лоренца, поскольку сохраняют инвариант $$ x_0^2-x_1^2 $$ Такие композиции могут иметь необычные, или скорее непривычные, свойства: $$ L(\psi_1)C_1L(\psi_1)C_1=1 $$ Мы рассматривали только одномерный и 2-мерный варианты. В действительности преобразования Лоренца действуют в 4-мерном пространстве и сохраняют инвариантным интервал: $$ x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2 $$ Поэтому в группе Лоренца присутствуют 4 инверсных преобразования: $$ C_0=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_1=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_2=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_3=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) $$ В отношении пространственных координат инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ выступают в качестве зеркальных. Соответственно, не всякая их композиция сохраняет ориентацию ортогональной тройки векторов.
Также нужно отметить, что инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ образуют композиции как с пространственно-временными гиперболическими вращениями, так и с пространственными тригонометрическими вращениями.
Начнем с простого. Положим, что у нас есть величина $a$. И нам требуется найти, при умножении каких чисел на эту величину сохраняется инвариантной величина $a^2$. Для этого решим уравнение: $$ (xa)^2=a^2 $$ Соответственно, величина оператора преобразования $a$ может принимать 2 значения: $$ x=1 $$ $$ x=-1 $$ При этом в первом варианте как-бы и нет необходимости, поскольку его можно заменить на второй в четной степени.
Таким образом, чтобы величина $a^2$ сохранялась инвариантной, мы можем умножать величину $a$ на оператор $$ C=-1 $$ сколько угодно раз: $$ ((-1)^na)^2=a^2 $$ Произвольная композиция таких операторов также сохраняет величину $a^2$ инвариантной, и это выражение верно независимо от значения $n$.
Теперь поднимем градус и перейдем к двумерному числу $$ x=(x_0,x_1) $$ для которого преобразования должны сохранять величину $$ x_0^2-x_1^2 $$ Рассуждая по аналогии с вышеприведенным случаем, мы можем каждую компоненту $x_i$ умножать независимо от другой компоненты на $\pm 1$. $$ (\pm_0x_0)^2-(\pm_1x_1)^2=x_0^2-x_1^2 $$ Здесь индексами у знаков $\pm$ отмечена их независимость друг от друга. Поскольку каждая операция смены знака у компоненты числа есть операция, линейная по компонентам числа $x_i$, то они представимы в матричной форме. Пусть число $x$ представляется вектором $$ \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \end{array}\right) $$ тогда числа - коэффициенты таких инверсных преобразований представляются матрицами: $$ C_0=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_1=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $$ Очевидно, что для таких матриц инвертирования компонент выполняются соотношения: $$ C_i^2=1 $$ $$ C_iC_j=C_jC_i $$ $$ \prod\limits_{i=0}^nC_i=-1 $$ Свойства у таких операторов, возможно, и не столь сильные как у непрерывных преобразований Лоренца, но тем не менее они есть.
Поскольку каждое из таких преобразований сохраняет инвариант $$ x_0^2-x_1^2 $$ то этот же инвариант сохраняется и при их композиции, причем произвольной, с непрерывными вращениями группы Лоренца, например для 2-мерного интервала это $$ L(\psi_1)=\left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ Композиции этого преобразования с инверсными также сохраняют инвариант: $$ x_0^2-x_1^2 $$ Например: $$ C_1L(\psi_1)= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ $$ L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ $$ C_1L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right) $$ Да, эти матрицы также представляют преобразования Лоренца, поскольку сохраняют инвариант $$ x_0^2-x_1^2 $$ Такие композиции могут иметь необычные, или скорее непривычные, свойства: $$ L(\psi_1)C_1L(\psi_1)C_1=1 $$ Мы рассматривали только одномерный и 2-мерный варианты. В действительности преобразования Лоренца действуют в 4-мерном пространстве и сохраняют инвариантным интервал: $$ x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2 $$ Поэтому в группе Лоренца присутствуют 4 инверсных преобразования: $$ C_0=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_1=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_2=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ C_3=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) $$ В отношении пространственных координат инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ выступают в качестве зеркальных. Соответственно, не всякая их композиция сохраняет ориентацию ортогональной тройки векторов.
Также нужно отметить, что инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ образуют композиции как с пространственно-временными гиперболическими вращениями, так и с пространственными тригонометрическими вращениями.
Комментариев нет:
Отправить комментарий