Во многих источниках упоминается, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при устремлении скорости
света c по своему значению к бесконечности. Так ли это, попробуем разобраться.
Преобразования Галилея задают приращение координаты в зависимости от времени и скорости: $$ \Delta x = V \Delta t $$ При этом полагается, что приращение времени не зависит ни от чего, и значение временной координаты то же самое после преобразования, что и до него.
Обозначив штрихованной преобразованную систему отсчета, получим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{c} t' = t + 0 x \\ x' = Vt + x \end{array} \right. $$ В матричных обозначениях это равно: $$ \left( \begin{array}{c} t' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ V & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right) $$ Преобразования Лоренца задаются в координатах (ct, x) как гиперболический поворот в плоскости (ct, x): $$ \left\{ \begin{array}{cc} ct' = ch(\varphi) ct + sh(\varphi)x \\ x' = sh(\varphi)ct + ch(\varphi)x \end{array} \right. $$ Взяв дифференциалы, получим при $\varphi=const$: $$ \left\{ \begin{array}{cc} cdt' = ch(\varphi) cdt + sh(\varphi)dx \\ dx' = sh(\varphi)cdt + ch(\varphi)dx \end{array} \right. $$ Если исходная нештрихованная система отсчета покоится, то в ней $$ dx=0 $$ и преобразованная относительно нее система отсчета движется со скоростью: $$ \frac{dx'}{cdt'}=\frac{sh(\varphi)}{ch(\varphi)}=th(\varphi) $$ $dx' / dt'$ есть скорость движения штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, и $$ \frac{dx'}{cdt'}=\frac{V}{c} $$ Раскроем гиперболические функции через $V$: $$ ch(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1-th^2(\varphi)}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} $$ $$ sh{\varphi}=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} $$ Сведем преобразования Лоренца к матричной форме: $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} ch(\varphi) & sh(\varphi) \\ sh(\varphi) & ch(\varphi) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ и сравним с преобразованиями Галилея, приведенным к тем же координатам (ct, x): $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ V/c & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Очевидно, что каким бы ни было значение $\varphi$, матрица преобразований Лоренца по-прежнему будет иметь равные внедиагональные элементы (и равные диагональные). Но матрица преобразований Галилея имеет не равные внедиагональные элементы. Чтобы одна матрица стала равна другой, надо сделать так, чтобы $V$ в преобразованиях Галилея стало равным 0. В этом случае получаем $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Этому варианту соответствует преобразование Лоренца при $\varphi=0$: $$ ch(0)=1 $$ $$ sh(0)=0 $$ Но этот вариант соответствует штрихованной системе отсчета, не движущейся относительно нештрихованной. Очевидно, что этот вариант не тот, который нас интересует. И, формально, можем сделать вывод, что в координатах (ct', x) преобразование Лоренца не может переходить в преобразование Галилея если системы отсчета движутся друг относительно друга, чему бы ни была равна скорость света c.
Перейдем к обозначениям не через $\varphi$, а через $V$ в преобразованиях Лоренца: $$ \left\{ \begin{array}{c} ct'=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}ct + \frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x \\ x'=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}ct + \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x \end{array} \right. $$ Во втором уравнении сократим скорость света: $$ x'=\frac{V}{\sqrt{1-V^2/c^2}}t + \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x $$ и, тут внимание, то же самое сделаем в первом уравнении, но с обеими частями: $$ t'=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}t + \frac{V/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x $$ Таким образом, мы перешли от системы координат (ct, x) к системе координат (t, x) полагая, что скорость света c есть величина, на которую можно умножать и делить обе части уравнения.
В полученных для системы координат (t, x) преобразованиях выполним предельный переход, устремив значение c к бесконечности и получим вполне знакомое уже: $$ \left\{ \begin{array}{c} t'=t + 0x \\ x'=Vt + x \end{array} \right. $$ Это и есть преобразование Галилея. Собственно, об этом трюке и идет речь,когда говорят, что преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c к бесконечности. Вообще говоря, в этом трюке содержится мошенничество, состоящее в том, что мы целое уравнение делим на значение c, которое впоследствии приравниваем к бесконечности. Это трюк того же рода, когда все уравнение умножается на ноль, и левая и правая части. В результате такой махинации можно получить в принципе практически что угодно.
Если есть уравнение $$ 0a=0b $$ то оно верно вне зависимости от того, что мы впишем вместо $a$ и $b$.
И, если говорить строго, то преобразования Лоренца ну никак не переходят в преобразования Галилея, это разные преобразования вне зависимости от того чему мы полагает равной скорость света. Правильной записью преобразования Лоренца является запись преобразования в системе координат (ct, x), а не в системе координат (t, x) и при сравнении преобразований они должны быть в одной системе координат.
Преобразования Галилея задают приращение координаты в зависимости от времени и скорости: $$ \Delta x = V \Delta t $$ При этом полагается, что приращение времени не зависит ни от чего, и значение временной координаты то же самое после преобразования, что и до него.
Обозначив штрихованной преобразованную систему отсчета, получим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{c} t' = t + 0 x \\ x' = Vt + x \end{array} \right. $$ В матричных обозначениях это равно: $$ \left( \begin{array}{c} t' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ V & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ x \end{array} \right) $$ Преобразования Лоренца задаются в координатах (ct, x) как гиперболический поворот в плоскости (ct, x): $$ \left\{ \begin{array}{cc} ct' = ch(\varphi) ct + sh(\varphi)x \\ x' = sh(\varphi)ct + ch(\varphi)x \end{array} \right. $$ Взяв дифференциалы, получим при $\varphi=const$: $$ \left\{ \begin{array}{cc} cdt' = ch(\varphi) cdt + sh(\varphi)dx \\ dx' = sh(\varphi)cdt + ch(\varphi)dx \end{array} \right. $$ Если исходная нештрихованная система отсчета покоится, то в ней $$ dx=0 $$ и преобразованная относительно нее система отсчета движется со скоростью: $$ \frac{dx'}{cdt'}=\frac{sh(\varphi)}{ch(\varphi)}=th(\varphi) $$ $dx' / dt'$ есть скорость движения штрихованной системы отсчета относительно нештрихованной, и $$ \frac{dx'}{cdt'}=\frac{V}{c} $$ Раскроем гиперболические функции через $V$: $$ ch(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1-th^2(\varphi)}}=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} $$ $$ sh{\varphi}=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} $$ Сведем преобразования Лоренца к матричной форме: $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} ch(\varphi) & sh(\varphi) \\ sh(\varphi) & ch(\varphi) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ и сравним с преобразованиями Галилея, приведенным к тем же координатам (ct, x): $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ V/c & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Очевидно, что каким бы ни было значение $\varphi$, матрица преобразований Лоренца по-прежнему будет иметь равные внедиагональные элементы (и равные диагональные). Но матрица преобразований Галилея имеет не равные внедиагональные элементы. Чтобы одна матрица стала равна другой, надо сделать так, чтобы $V$ в преобразованиях Галилея стало равным 0. В этом случае получаем $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Этому варианту соответствует преобразование Лоренца при $\varphi=0$: $$ ch(0)=1 $$ $$ sh(0)=0 $$ Но этот вариант соответствует штрихованной системе отсчета, не движущейся относительно нештрихованной. Очевидно, что этот вариант не тот, который нас интересует. И, формально, можем сделать вывод, что в координатах (ct', x) преобразование Лоренца не может переходить в преобразование Галилея если системы отсчета движутся друг относительно друга, чему бы ни была равна скорость света c.
Перейдем к обозначениям не через $\varphi$, а через $V$ в преобразованиях Лоренца: $$ \left\{ \begin{array}{c} ct'=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}ct + \frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x \\ x'=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}ct + \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x \end{array} \right. $$ Во втором уравнении сократим скорость света: $$ x'=\frac{V}{\sqrt{1-V^2/c^2}}t + \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x $$ и, тут внимание, то же самое сделаем в первом уравнении, но с обеими частями: $$ t'=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}t + \frac{V/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}x $$ Таким образом, мы перешли от системы координат (ct, x) к системе координат (t, x) полагая, что скорость света c есть величина, на которую можно умножать и делить обе части уравнения.
В полученных для системы координат (t, x) преобразованиях выполним предельный переход, устремив значение c к бесконечности и получим вполне знакомое уже: $$ \left\{ \begin{array}{c} t'=t + 0x \\ x'=Vt + x \end{array} \right. $$ Это и есть преобразование Галилея. Собственно, об этом трюке и идет речь,когда говорят, что преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c к бесконечности. Вообще говоря, в этом трюке содержится мошенничество, состоящее в том, что мы целое уравнение делим на значение c, которое впоследствии приравниваем к бесконечности. Это трюк того же рода, когда все уравнение умножается на ноль, и левая и правая части. В результате такой махинации можно получить в принципе практически что угодно.
Если есть уравнение $$ 0a=0b $$ то оно верно вне зависимости от того, что мы впишем вместо $a$ и $b$.
И, если говорить строго, то преобразования Лоренца ну никак не переходят в преобразования Галилея, это разные преобразования вне зависимости от того чему мы полагает равной скорость света. Правильной записью преобразования Лоренца является запись преобразования в системе координат (ct, x), а не в системе координат (t, x) и при сравнении преобразований они должны быть в одной системе координат.
Комментариев нет:
Отправить комментарий