Локально волновое уравнение

Пусть функция f зависит от аргумента w так, что является дважды дифференцируемой. И при этом сам аргумент w есть функция от значений x и t, необязательно в виде линейной комбинации их значений. Пусть это также произвольная дважды дифференцируемая функция. $$ f(w)=f(w(x,t)) $$ Найдем первые производные $$ f_x'=f_w'w_x' $$ $$ f_t'=f_w'w_t' $$ Найдем вторые производные: $$ f_{xx}''=f_{ww}''w_x'^2+f_w'w_xx'' $$ $$ f_{tt}''=f_{ww}''w_t'^2+f_w'w_tt'' $$ Если так же, как и для случая $w$ как линейной комбинации $x$ и $t$, выделить общую часть $f_{ww}'$, то $$ f_{xx}''=f_{ww}''(w_x'^2+w_{xx}''f_w'/f_{ww}'') $$ $$ f_{tt}''=f_{ww}''(w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}'') $$ В этом случае получим соотношение вторых производных в виде: $$ f_{xx}''=\frac{w_x'^2+w_{xx}''f_w'/f_{ww}''}{w_t'^2+ w_{tt}''f_w'/f_{ww}''}f_{tt}''=\frac{1}{v^2}f_{tt}'' $$ Здесь ведичины $w_x'$, $w_{xx}''$ и другие частные производые вычисляются в точке, в которой нас интересует скорость $v$. Если все величины брать именно в этой локальной точке ($x_0$, $t_0$), то локально, в малой окрестности, такая дважды дифференцируемая функция, выглядит топологически как волновая и локально движущаяся со скоростью $$ v^2=\frac{w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}''}{w_x'^2+w_{xx}''f_w'/f_{ww}''} $$ Мы привыкли, что скорость характеризуется первыми производными или сочетанием дифференциалов первого порядка. В действительности же оказалось, что скорость волнового фронта (в оценивании по волновому уравнению второго порядка) определяется еще и динамическими величинами $w_{tt}''$ и $w_{xx}''$, которые формально уже являются производными второго порядка. Причем степень вносимого ими вклада в скорость определяется другой динамической величиной, зависящей не от аргумента, а от самой функции $$ f_w'/f_{ww}'' $$ В случае если рассматривается локально волновая функция в 3-мерном пространстве-времени $$ w=w(x,y,z,t) $$ получаем локальную скорость $$ v^2=\frac{w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}''} {w_x'^2+w_y'^2+w_z'^2+(w_{xx}''+w_{yy}''+w_{zz}')f_w'/f_{ww}''} $$ Если величины $w_x'$, $w_y'$, $w_z'$ выглядят как компоненты вектора, то величины $w_{tt}''$, $w_{xx}''$, $w_{yy}''$ и $w_{zz}''$ входят в первом порядке туда, куда величины из первых производных входят во втором.

Таким образом, волновой вектор для волнового уравнения второго порядка является вектором в геометрическом смысле лишь при нулевых ускорениях аргумента $w$ по координатам $x$, $y$, $z$, $t$. В случае нелинейности аргумента $w$ по координатам, видимо, уже не имеет смысла говорить о позиционном совпадении функции в точке ($x$, $y$, $z$, $t$) с функцией в другой точке ($x'$, $y'$, $z'$, $t'$), но можно говорить о вычислении отдельных координат скорости локального фронта в виде его отдельных компонент: $$ v_x^2=\frac{w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}''} {w_x'^2+w_{xx}''f_w'/f_{ww}''} $$ $$ v_y^2=\frac{w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}''} {w_y'^2+w_{yy}''f_w'/f_{ww}''} $$ $$ v_z^2=\frac{w_t'^2+w_{tt}''f_w'/f_{ww}''} {w_z'^2+w_{zz}''f_w'/f_{ww}''} $$

Оглавление: Волновое уравнение