Processing math: 100%

воскресенье, 30 апреля 2023 г.

Локально волновое уравнение

Пусть функция f зависит от аргумента w так, что является дважды дифференцируемой. И при этом сам аргумент w есть функция от значений x и t, необязательно в виде линейной комбинации их значений. Пусть это также произвольная дважды дифференцируемая функция. f(w)=f(w(x,t)) Найдем первые производные fx=fwwx ft=fwwt Найдем вторые производные: fxx=fwww2x+fwwxx ftt=fwww2t+fwwtt Если так же, как и для случая w как линейной комбинации x и t, выделить общую часть fww, то fxx=fww(w2x+wxxfw/fww) ftt=fww(w2t+wttfw/fww) В этом случае получим соотношение вторых производных в виде: fxx=w2x+wxxfw/fwww2t+wttfw/fwwftt=1v2ftt Здесь ведичины wx, wxx и другие частные производые вычисляются в точке, в которой нас интересует скорость v. Если все величины брать именно в этой локальной точке (x0, t0), то локально, в малой окрестности, такая дважды дифференцируемая функция, выглядит топологически как волновая и локально движущаяся со скоростью v2=w2t+wttfw/fwww2x+wxxfw/fww Мы привыкли, что скорость характеризуется первыми производными или сочетанием дифференциалов первого порядка. В действительности же оказалось, что скорость волнового фронта (в оценивании по волновому уравнению второго порядка) определяется еще и динамическими величинами wtt и wxx, которые формально уже являются производными второго порядка. Причем степень вносимого ими вклада в скорость определяется другой динамической величиной, зависящей не от аргумента, а от самой функции fw/fww В случае если рассматривается локально волновая функция в 3-мерном пространстве-времени w=w(x,y,z,t) получаем локальную скорость v2=w2t+wttfw/fwww2x+w2y+w2z+(wxx+wyy+wzz)fw/fww Если величины wx, wy, wz выглядят как компоненты вектора, то величины wtt, wxx, wyy и wzz входят в первом порядке туда, куда величины из первых производных входят во втором.

Таким образом, волновой вектор для волнового уравнения второго порядка является вектором в геометрическом смысле лишь при нулевых ускорениях аргумента w по координатам x, y, z, t. В случае нелинейности аргумента w по координатам, видимо, уже не имеет смысла говорить о позиционном совпадении функции в точке (x, y, z, t) с функцией в другой точке (x, y, z, t), но можно говорить о вычислении отдельных координат скорости локального фронта в виде его отдельных компонент: v2x=w2t+wttfw/fwww2x+wxxfw/fww v2y=w2t+wttfw/fwww2y+wyyfw/fww v2z=w2t+wttfw/fwww2z+wzzfw/fww

Оглавление: Волновое уравнение

Комментариев нет:

Отправить комментарий