Пусть функция f зависит от аргумента w так, что является дважды дифференцируемой. И при этом сам аргумент w есть функция от значений x и t, необязательно в виде линейной комбинации их значений. Пусть это также произвольная дважды дифференцируемая функция.
f(w)=f(w(x,t))
Найдем первые производные
f′x=f′ww′x
f′t=f′ww′t
Найдем вторые производные:
f″xx=f″www′2x+f′wwxx″
f″tt=f″www′2t+f′wwtt″
Если так же, как и для случая w как линейной комбинации x и t, выделить общую часть f′ww, то
f″xx=f″ww(w′2x+w″xxf′w/f″ww)
f″tt=f″ww(w′2t+w″ttf′w/f″ww)
В этом случае получим соотношение вторых производных в виде:
f″xx=w′2x+w″xxf′w/f″www′2t+w″ttf′w/f″wwf″tt=1v2f″tt
Здесь ведичины w′x, w″xx и другие частные производые вычисляются в точке, в которой нас интересует скорость v. Если все величины брать именно в этой локальной точке (x0, t0), то локально, в малой окрестности, такая дважды дифференцируемая функция, выглядит топологически как волновая и локально движущаяся со скоростью
v2=w′2t+w″ttf′w/f″www′2x+w″xxf′w/f″ww
Мы привыкли, что скорость характеризуется первыми производными или сочетанием дифференциалов первого порядка. В действительности же оказалось, что скорость волнового фронта (в оценивании по волновому уравнению второго порядка) определяется еще и динамическими величинами w″tt и w″xx, которые формально уже являются производными второго порядка. Причем степень вносимого ими вклада в скорость определяется другой динамической величиной, зависящей не от аргумента, а от самой функции
f′w/f″ww
В случае если рассматривается локально волновая функция в 3-мерном пространстве-времени
w=w(x,y,z,t)
получаем локальную скорость
v2=w′2t+w″ttf′w/f″www′2x+w′2y+w′2z+(w″xx+w″yy+w′zz)f′w/f″ww
Если величины w′x, w′y, w′z выглядят как компоненты вектора, то величины w″tt, w″xx, w″yy и w″zz входят в первом порядке туда, куда величины из первых производных входят во втором.
Таким образом, волновой вектор для волнового уравнения второго порядка является вектором в геометрическом смысле лишь при нулевых ускорениях аргумента w по координатам x, y, z, t. В случае нелинейности аргумента w по координатам, видимо, уже не имеет смысла говорить о позиционном совпадении функции в точке (x, y, z, t) с функцией в другой точке (x′, y′, z′, t′), но можно говорить о вычислении отдельных координат скорости локального фронта в виде его отдельных компонент:
v2x=w′2t+w″ttf′w/f″www′2x+w″xxf′w/f″ww
v2y=w′2t+w″ttf′w/f″www′2y+w″yyf′w/f″ww
v2z=w′2t+w″ttf′w/f″www′2z+w″zzf′w/f″ww
Оглавление: Волновое уравнение
Комментариев нет:
Отправить комментарий