https://ru.wikipedia.org/wiki/Волновое_уравнениеВезде демонстрируется функция, иллюстрирующая волновое уравнение, как синус или косинус. Но мы попробуем разобраться, что там на самом деле.
В традиционном подходе берется волновая функция вида $$ f(x,t)=f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0) $$ После чего берутся поледовательно первая и вторая частные производные по времени $t$ и координате $x$. $$ f_x'(x,t)=f_0\sin(\omega t-kx+\varphi_0)k $$ $$ f_{xx}''(x,t)=-f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)k^2 $$ $$ f_x'(x,t)=-f_0\sin(\omega t-kx+\varphi_0)\omega $$ $$ f_{tt}''(x,t)=-f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\omega^2 $$ После чего делается вывод, что верно равенство $$ f_{xx}''=\frac{k^2}{\omega^2}f_{tt}'' $$ Оно конечно так, и функция косинус или синус удовлетворяют этому уравнению, называемому волновым Но будут ли ему удовлетворять лишь синус или косинус?
Положим, что у нас есть некая кусочно непрерывная и дважды дифференцируемая функция $$ f(x,t)=f(y(x,t)) $$ И при этом аргумент $y(x,t)$ образован в виде линейной комбинации $$ y(x,t)=c_xx+c_tt $$ Здесь $c_x$ и $c_t$ есть некие величины, явно не выраженные через $x$ и $t$, но, возможно, зависящие от них неявно.
Найдем те же первую и вторую производные: $$ f_x'(x,t)=f_y'c_x $$ $$ f_{xx}''(x,t)=f_{yy}''c_x^2 $$ $$ f_t'(x,t)=f_y'c_t $$ $$ f_{tt}''(x,t)=f_{yy}''c_t^2 $$ То есть мы приходим к тому же самому волновому уравнению $$ f_{xx}''=\frac{c_x^2}{c_t^2}f_{tt}'' $$ Если бы аргумент функции $y(x,t)$ выражался через $x$ и $t$ не линейной комбинацией с использованием независящих явно от $x$ и $t$ констант, а иначе, то и первые и вторые производные уже не содержали бы просто $c_x$ и $c_t$ в первой и второй степенях, но были бы при этом сложными функциями. И вторые произведные $f_{xx}''$ и $f_{tt}'$ не выражались бы друг через друга столь просто.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что для того, чтобы удовлетворять волновому уравнению, достаточно чтбоы функция была кусочно-непрерывной и дважды дифференцируемой, и необходимо чтобы аргумент был выражен линейной комбинацией координаты $x$ и времени $t$.
В этом случае функция, какой бы она ни была, в два различных момента времени полностью совпадает с собой если выполнить смещение и по координате $x$ таким образом, чтобы выполнялось соотношение $$ c_xx'+c_tt'=c_xx+c_tt $$ Поскольку эта взаимосвязь координат линейна, мы наблюдаем такой аргумент как движение во времени $t$ по координате $x$ со скоростью $c_t/c_x$. Сама же функция может иметь любой вид.
Что касается традиционных примеров функций в виде синуса или косинуса, то речь идет о подстановке вместо волновой функции периодической функции.
Если волновая функция, вообще говоря, никак не регламентирует повторяемость на протяжении координат, то периодические и колебательные в целом функции соответствуют этому критерию в качестве ключевого.
По большей части колебательные функции относятся к волновым, но далеко не всякая волновая функция будет колебательной. Например, волна цунами является волной и, притом, достаточно устойчивой, но не является в полном смысле слова колебательным процессом.
Оглавление: Волновое уравнение
Комментариев нет:
Отправить комментарий