1-мерное волновое уравнение

Традиционно под полновой функцией понимают функцию, удовлетворяющую волновому уравнению. Как вариант, см. выдержку из Википедии:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Волновое_уравнение

Везде демонстрируется функция, иллюстрирующая волновое уравнение, как синус или косинус. Но мы попробуем разобраться, что там на самом деле.

В традиционном подходе берется волновая функция вида $$f(x,t)=f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$$ После чего берутся поледовательно первая и вторая частные производные по времени $t$ и координате $x$. $$f_x'(x,t)=f_0\sin(\omega t-kx+\varphi_0)k$$ $$f_{xx}''(x,t)=-f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)k^2$$ $$f_x'(x,t)=-f_0\sin(\omega t-kx+\varphi_0)\omega$$ $$f_{tt}''(x,t)=-f_0\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\omega^2$$ После чего делается вывод, что верно равенство $$f_{xx}''=\frac{k^2}{\omega^2}f_{tt}''$$ Оно конечно так, и функция косинус или синус удовлетворяют этому уравнению, называемому волновым Но будут ли ему удовлетворять лишь синус или косинус?

Положим, что у нас есть некая кусочно непрерывная и дважды дифференцируемая функция $$f(x,t)=f(y(x,t))$$ И при этом аргумент $y(x,t)$ образован в виде линейной комбинации $$y(x,t)=c_xx+c_tt$$ Здесь $c_x$ и $c_t$ есть некие величины, явно не выраженные через $x$ и $t$, но, возможно, зависящие от них неявно.

Найдем те же первую и вторую производные: $$f_x'(x,t)=f_y'c_x$$ $$f_{xx}''(x,t)=f_{yy}''c_x^2$$ $$f_t'(x,t)=f_y'c_t$$ $$f_{tt}''(x,t)=f_{yy}''c_t^2$$ То есть мы приходим к тому же самому волновому уравнению $$f_{xx}''=\frac{c_x^2}{c_t^2}f_{tt}''$$ Если бы аргумент функции $y(x,t)$ выражался через $x$ и $t$ не линейной комбинацией с использованием независящих явно от $x$ и $t$ констант, а иначе, то и первые и вторые производные уже не содержали бы просто $c_x$ и $c_t$ в первой и второй степенях, но были бы при этом сложными функциями. И вторые произведные $f_{xx}''$ и $f_{tt}'$ не выражались бы друг через друга столь просто.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что для того, чтобы удовлетворять волновому уравнению, достаточно чтбоы функция была кусочно-непрерывной и дважды дифференцируемой, и необходимо чтобы аргумент был выражен линейной комбинацией координаты $x$ и времени $t$.

В этом случае функция, какой бы она ни была, в два различных момента времени полностью совпадает с собой если выполнить смещение и по координате $x$ таким образом, чтобы выполнялось соотношение $$c_xx'+c_tt'=c_xx+c_tt$$ Поскольку эта взаимосвязь координат линейна, мы наблюдаем такой аргумент как движение во времени $t$ по координате $x$ со скоростью $c_t/c_x$. Сама же функция может иметь любой вид.

Что касается традиционных примеров функций в виде синуса или косинуса, то речь идет о подстановке вместо волновой функции периодической функции.

Если волновая функция, вообще говоря, никак не регламентирует повторяемость на протяжении координат, то периодические и колебательные в целом функции соответствуют этому критерию в качестве ключевого.

По большей части колебательные функции относятся к волновым, но далеко не всякая волновая функция будет колебательной. Например, волна цунами является волной и, притом, достаточно устойчивой, но не является в полном смысле слова колебательным процессом.

Оглавление: Волновое уравнение