3-мерное волновое уравнение

Продолжим рассмотрение волнового уравнения, но перейдем уже к 3-мерному случаю, когда аргумент зависит не от времени и одной координаты, а от времени t и трех компонент координаты x, y, z.

Пусть функция $f$ дважды дифференцируема и зависит от аргумента $$w=c_xx+c_yy+c_zz+c_tt$$ $$f=f(w)=f(w(x,y,z,t))$$ Как и раньше, найдем первые и вторые частные производные. $$\begin{array}{c} f_{xx}''=f_{ww}'c_x^2 \\ f_{yy}''=f_{ww}'c_y^2 \\ f_{zz}''=f_{ww}'c_z^2 \\ f_{tt}''=f_{ww}'c_t^2 \\ \end{array}$$ Здесь можно получить как 3 отдельных волновых уравнения $$f_{xx}''=\frac{c_x^2}{c_t^2}f_{tt}''$$ $$f_{yy}''=\frac{c_y^2}{c_t^2}f_{tt}''$$ $$f_{zz}''=\frac{c_z^2}{c_t^2}f_{tt}''$$ Так и одно, сложив вместе производные ко пространственным координатам: $$f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}''=f_{ww}''(c_x^2+c_y^2+c_z^2)$$ Откуда получаем: $$f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}''= \frac{c_x^2+c_y^2+c_z^2}{c_t^2}f_{tt}''$$ Здесь величина образованная из $c_x$, $c_y$ и $c_z$ ведет себя как вектор, или как если бы вместо $w$ использовалось скалярное произведение 4-мерного вектора пространства-времени и некоего 4-мерного вектора, образованного из компонент $c_i$.

Векторная часть такого вектора образована $c_x$, $c_y$ и $c_z$, задающими направление движения волны и своей величиной по сравнению с $c_t$ задающая величину скорости такого движения.

Собственно, эту величину и называют волновым вектором. Если в какой-то точке пространства есть такой вектор, то он задает направление движения волнового фронта и сам фронт перпендикулярен этому вектору. То есть фронту в малой окрестности принадлежат точки, для которых скалярное произведение волнового вектора на вектор точки равен скалярному произведению волнового вектора на вектор рассматриваемой точки. То есть все точки которые отстоят от рассматриваемой с вектором, скалярное произведение которого на волновой вектор равно нулю.

Также, как и для 1-мерного случая, можно утверждать, что если фронт волны проходит от пространственно-временной координаты $x$, $y$, $z$, $t$ к другой координате $x'$, $y'$, $z'$, $t'$, то для них выполняется соотношение: $$c_xx'+c_yy'+c_zz'+c_tt'=c_xx+c_yy+c_zz+c_tt$$ Для того чтобы отделять волновые функции от периодических нужно дополнительно подразумевать топологическую непрерывность такого условия для волновых.

Оглавление: Волновое уравнение