Вернемся к формулировке локально волнового уравнения. А именно, пусть функция f(w) дважды дифференцируема по w и аргумент w есть функция от компонент координаты x и t.
f(w)=f(w(x,t))
Найдем первые производные:
f′x=f′ww′x
f′t=f′ww′t
Из этой системы уравнений можем вывести, что:
f′x=w′xw′tf′t
То есть, если есть локально волновая функция, то её первые производные участвуют в соотношении:
f′2x=1v2xf′2t
Это уравнение и назовем волновым уравнением первого порядка.
Перейдем к 3-мерному варианту, положив что аргумент волновой функции зависит от времени t и компонент координат x, y и z.
w=w(x,y,z,t)
f(w)=f(w(x,y,z,t))
Найдем первые производные:
f′t=f′ww′t
f′x=f′ww′x
f′y=f′ww′y
f′z=f′ww′z
Если возвести в квадрат и сложить, то получим
f′2x+f′2y+f′2z=w′2x+w′2y+w′2zw′2tf′2t
Здесь выражение
w′2x+w′2y+w′2zw′2t
определяет квадрат скорости так же, как и для волнового уравнения первого порядка.
Но в данном случае не требуется, чтобы величины w′x, w′y, w′z и w′t были константами. Выражение для волновой функции первого порядка, вообще говоря, определяет локально волновую функцию в общем случае. И, вообще говоря, в скорость фронта волны уже не требуется вносить дополнительные поправки с коэффициентами f′w/w″ww.
Итого, можем суммировать, что для волновой функции с константными w′ выполняется соотношение
f″xx+f″yy+f″zz=1v2f″tt
Но, вообще говоря, для общего случая также выполняется соотношение для производных первого порядка
f′2x+f′2y+f′2z=1v2f′2t
Оглавление: Волновое уравнение
Комментариев нет:
Отправить комментарий