Processing math: 100%

понедельник, 1 мая 2023 г.

Волновое уравнение 1-го порядка

Вернемся к формулировке локально волнового уравнения. А именно, пусть функция f(w) дважды дифференцируема по w и аргумент w есть функция от компонент координаты x и t. f(w)=f(w(x,t)) Найдем первые производные: fx=fwwx ft=fwwt Из этой системы уравнений можем вывести, что: fx=wxwtft То есть, если есть локально волновая функция, то её первые производные участвуют в соотношении: f2x=1v2xf2t Это уравнение и назовем волновым уравнением первого порядка.

Перейдем к 3-мерному варианту, положив что аргумент волновой функции зависит от времени t и компонент координат x, y и z. w=w(x,y,z,t) f(w)=f(w(x,y,z,t)) Найдем первые производные: ft=fwwt fx=fwwx fy=fwwy fz=fwwz Если возвести в квадрат и сложить, то получим f2x+f2y+f2z=w2x+w2y+w2zw2tf2t Здесь выражение w2x+w2y+w2zw2t определяет квадрат скорости так же, как и для волнового уравнения первого порядка.

Но в данном случае не требуется, чтобы величины wx, wy, wz и wt были константами. Выражение для волновой функции первого порядка, вообще говоря, определяет локально волновую функцию в общем случае. И, вообще говоря, в скорость фронта волны уже не требуется вносить дополнительные поправки с коэффициентами fw/www.

Итого, можем суммировать, что для волновой функции с константными w выполняется соотношение fxx+fyy+fzz=1v2ftt Но, вообще говоря, для общего случая также выполняется соотношение для производных первого порядка f2x+f2y+f2z=1v2f2t

Оглавление: Волновое уравнение

Комментариев нет:

Отправить комментарий