Как вывести матрицу преобразования Лоренца?

В гиперкомплексных числах преобразование Лоренца задается как произведение слева и справа на полуоператоры, взаимно сопряженные друг другу. Следовательно, получающийся результат есть линейная форма по компонентам преобразуемого вектора. Следовательно, такое преобразование может быть представлено в виде умножения матричного оператора на вектор. Как найти эту матрицу? Попробуем разобраться.

Преобразование Лоренца в бикватернионах выглядит как произведение $$X'=AX\overline{A}^*$$ Полуоператор справа есть скалярно-векторно сопряженный к левому. При скалярном сопряжении меняется знак у компонент, в образовании которых участвует единица $I$, и при векторном сопряжении у помпонентов, в образовании мнимых единиц которых участвуют единицы $i$, $j$, $k$.

Для преобразования Лоренца используется экспонента от полярной величины, также называемой быстротой: $$\psi = Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3$$ Поскольку это строго полярная величина, при скалярно-векторном сопряжении она остается неизменной: $$\overline{\psi}^*=\psi$$ При скалярно-векторном сопряжении в силу их линейности экспонента от сопряженной величины равна сопряженной от экспоненты несопряженной величины: $$\overline{e^{\psi}}^*=e^{\overline{\psi}^*}=e^{\psi}$$ В итоговом полуоператоре в показателе экспоненты стоит половина быстроты: $$X'=e^{\psi/2}Xe^{\psi/2}$$ Совместно с 3-мерными вращениями преобразования Лоренца образуют группу. Более детально это преобразование рассматривалось в других работах, перейдем к получению матричного представления из бикватернионного.

Выразим полуоператор в компонентах: $$e^{\psi/2}=\mathrm{ch}\psi/2+\frac{Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3} {\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2}}\mathrm{sh}\psi/2$$ Здесь в числителе и знаменателе дроби вынесли и сократили на $1/2$. И величина, представляющая дробь, есть единичный полярный вектор. Соответственно, поскольку при любых значениях $\psi$ $$\mathrm{ch}\psi\neq \mathrm{sh}\psi$$ то такая экспонента никогда не равна по абсолютной величине нулю и не является делителем нуля.

Поскольку векторное произведение полярных и векторное произведение аксиальных векторов дает аксиальный вектор, для простоты перейдем к выражениями через аксиальные векторы: $$e^{\psi/2}=\mathrm{ch}\psi/2+Ia\mathrm{sh}\psi/2$$ $$a=\frac{i\psi_1+j\psi_2+k\psi_3} {\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2}}$$ $$X=x_0+Ix$$ Итого: $$X'=(\mathrm{ch}\psi/2+Ia\mathrm{sh}\psi/2)(x_0+Ix)(\mathrm{ch}\psi/2+Ia\mathrm{sh}\psi/2)$$ Для раскрытия используем правила операций с векторами.

Скалярное произведение: $$(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$ $$(a,b)=(b,a)$$ $$(a,a)=|a|^2$$ Векторное произведение: $$[a,b]=\left( \begin{array}{c} a_3b_2 - a_2b_3 \\ a_1b_3 - a_3b_1 \\ a_2b_1 - a_1b_2 \end{array} \right)$$ $$[a,b]=-[b,a]$$ $$[a,a]=0$$ Результат векторного произведения перпендикулярен и первому и второму аргументу, а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $$([a,b],a)=0$$ $$([a,b],b)=0$$ Для перехода от кватернионного произведения к векторным величинам также нужно раскрыть кватернионное произведение: $$ab=-(a,b)+[a,b]$$ Также нужно учитывать, что использованная псевдоскалярная мнимая единица $I$ в квадрате: $$I^2=-1$$ Кроме того, понадобится также правило раскрытия двойного векторного произведения: $$[a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b)$$ Раскрытие произведения для $X'$ начнем со второго: $$\begin{array}{c} X'=(\mathrm{ch}\psi/2+Ia\mathrm{sh}\psi/2)(x_0\mathrm{ch}\psi/2+ \\ +Ix_0a\mathrm{sh}\psi/2+Ix\mathrm{ch}\psi/2+(x,a)\mathrm{sh}\psi/2-[x,a]\mathrm{sh}\psi/2) \end{array}$$ Здесь мы учли, что $I^2=-1$. И раскрываем первое произведение: $$\begin{array}{c} X'=x_0\mathrm{ch}^2\psi/2+Ix_0a\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}s\psi/2+\\ +Ix\mathrm{ch}^2\psi/2+(x,a)\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2- \\ -[x,a]\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2+Iax_0\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2- \\ -a^2x_0\mathrm{sh}^2\psi/2+(a,x)\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2- \\ -[a,x]\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}psi/2+Ia(x,a)\mathrm{sh}^2\psi/2- \\ -I\{-(a,[x,a])+[a,[x,a]]\}\mathrm{sh}^2\psi/2 \end{array}$$ Здесь произведем следующие упрощения. Поскольку по исходному выбору величина $a$ единица, то $$a^2=-(a,a)+[a,a]=-1+0=-1$$ Следовательно, $$x_0\mathrm{ch}^2\psi/2-a^2x_0\mathrm{sh}^2\psi/2=x_0\mathrm{ch}\psi$$ В силу антикоммутативности векторного произведения сумма $$-[x,a]\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2-[a,x]\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2=0$$ Еще одна сумма упрощается в силу коммутативности скалярного произведения: $$(x,a)\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2+(a,x)\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2=(x,a)\mathrm{sh}\psi$$ В силу ортогональности векторного произведения любому его аргументу равно нулю и следующее: $$(a,[x,a])=0$$ И после проведенных сокращений и упрощений получаем промежуточный результат: $$\begin{array}{c} X'=x_0\mathrm{ch}\psi+Ix_0a\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2+ \\ +Ix\mathrm{ch}^2\psi/2+(x,a)\mathrm{sh}\psi+ \\ +Iax_0\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2+Ia(x,a)\mathrm{sh}^2\psi/2- \\ -I[a,[x,a]]\mathrm{sh}^2\psi/2 \end{array}$$ Здесь можем провести упрощение $$2Ix_0\mathrm{sh}\psi/2\mathrm{ch}\psi/2=Ix_0a\mathrm{sh}\psi$$ И раскроем двойное векторное произведение: $$[a,[x,a]]=x(a,a)-a(a,x)$$ И учтем, что величина вектора $a$ (по его получению) единица $$(a,a)=1$$ $$\begin{array}{c} X'=x_0\mathrm{ch}\psi+Ix_0a\mathrm{sh}\psi+Ix\mathrm{ch}^2\psi/2+ \\ +(x,a)\mathrm{sh}\psi+Ia(x,a)\mathrm{sh}^2\psi/2 - \\ -Ix\mathrm{sh}^2\psi/2+Ia(a,x)\mathrm{sh}^2\psi/2 \end{array}$$ Здесь можем учесть, что $$Ix\mathrm{ch}^2\psi/2-Ix\mathrm{sh}^2\psi/2=Ix$$ $$\begin{array}{c} X'=x_0\mathrm{ch}\psi+Ix_0a\mathrm{sh}\psi+(x,a)\mathrm{sh}\psi+\\ +Ix+2Ia(x,a)\mathrm{sh}^2\psi/2 \end{array}$$ Далее мы можем учесть соотношение для гиперболического косинуса двойного аргумента: $$\mathrm{ch}2x=1+2\mathrm{sh}^2x$$ откуда следует, что $$2\mathrm{sh}^2\psi/2=\mathrm{ch}\psi-1$$ Итого, получаем: $$X'=x_0\mathrm{ch}\psi+Ix_0a\mathrm{sh}\psi+(x,a)\mathrm{sh}\psi+Ix+Ia(x,a) (\mathrm{ch}\psi-1)$$ Или, 4-мерный вектор есть сумма произведений 5-ти матриц на 4-мерный вектор.

Первый элемент $$x_0\mathrm{ch}\psi$$ есть произведение скаляра $x_0$ и результат есть вклад в скаляр $x'_0$: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\mathrm{ch}\psi \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ Второй элемент суммы есть произведение вектора на скаляр $x_0$ и результат есть вклад в полярную часть результата: $$\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & 0 & 0 \\ a_2 & 0 & 0 & 0 \\ a_3 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\mathrm{sh}\psi \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ Третий элемент есть вклад в скаляр $x'_0$ в виде линейной формы от компонент $x_i$: $$\left( \begin{array}{cccc} 0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\mathrm{sh}\psi \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ Четвертый элемент есть вклад в векторную часть $x'$ самой векторной части $x$ : $$\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ И пятый элемент есть линейная форма от векторной части $x$ и вклад в векторную часть результата: $$\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_1a_1 & a_1a_2 & a_1a_3 \\ 0 & a_2a_1 & a_2a_2 & a_2a_3 \\ 0 & a_3a_1 & a_3a_2 & a_3a_3 \end{array} \right)(\mathrm{ch}\psi-1) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ И если представить общий результат $$X'=L(\psi)X$$ то матрица $L(\psi)$ есть сумма этих пяти полученных матриц.

Величина быстроты $\psi$ определяется через скорость движения $v$ как: $$\mathrm{th}\psi=v/c$$ $$\mathrm{ch}\psi=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ $$\mathrm{sh}\psi=\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ и вектор $a$ - единичный вектор направления движения $v$.