Грани кватернионного тессеракта

Тессеракт - это название четырехмерной фигуры, имеющей стороны, перпендикулярные 4-м ортогональным осям. По каждой из осей откладывается значение +1 или -1, таким образом что условный центр тессеракта лежит в точке 0. Примерно также выглядит формулировка для обычного куба, если брать не 4-мерное, а 3-мерное пространство, или для квадрата, если брать 2-мерное пространство, или для отрезка, если брать 1-мерное пространство.

Кватернион - это гиперкомплексное число, имеющее 3 мнимых и одну действительную единицу, итого их 4. В геометрическом смысле они ортогональны друг другу. Если мы берем два кватерниона $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ $$ y=y_0+iy_1+jy_2+ky_3 $$ то их скалярное произведение выглядит так же как для векторов декартова пространства: $$ (x,y)=x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $$ И для простоты моделирования тессеракта берем кватернионное пространство, в котором углы тессеракта задаем значениями $\pm 1$.

Ось (например, первая, или $X$) идет от точки ноль в положительном и отрицательном направлении. При достижении значений +1 в первом и -1 во втором случае мы получаем координату грани тессеракта по этой оси. Итого каждая ось дает 2 грани. Итого у тессеракта 8 граней.

Стоя на грани мы можем варьировать все остальные координаты и оставаться в пределах этой грани. Мы будем оставаться на грани пока значение координаты по остальным осям будет в пределах $\pm 1$. Например для куба мы можем варьировать 3-1=2 координаты, значит грани принадлежит все что угодно в этой 2-мерной области, а для квадрата грань 2-1=1 мерная. Соответственно, у тессеракта грань 4-1=3 мерная. Поскольку по каждой из остальных координат мы можем двигаться в пределах от -1 до +1, то у тессеракта грани есть кубы. Причем противоположные грани в своих 3-мерных пространствах совпадают и отличаются лишь 4-й координатой, которая или -1 или +1. Примерно так же гранями куба являются квадраты.

Возьмем первые две оси $(1,i)$ и вторые две оси $(j,k)$. В первой и второй паре направляющие векторы (1 и $i$ в первой и $j$ и $k$ во второй) ортогональны друг другу. Следовательно, эти пары векторов образуют направляющие для плоскостей. Произвольный вектор в этих плоскостях может быть выражен как $x_0+ix_1$ или $jx_2+kx_3$. В определенном смысле первая и вторая плоскости выглядят похоже на комплексную плоскость, при том, что первая именно ей и является.

Взяв грани тессеракта, мы видим, что каждая из них перпендикулярна либо направляющему вектору из первой плоскости, либо направляющему вектору из второй плоскости. Поскольку, обходя контур по каждой из плоскостей, мы переходим с одной грани на другую, они должны быть смежными. То есть для каждой плоскости грани образуют обертывающую ленту (из кубов).

Так вот что в этом интересно - эти ленты из граней не пересекаются, хотя и образуют поверхность (3-мерную). И направляющие этих плоскостей также образуют полностью ортогональные плоскости. А именно, любой вектор в одной из плоскостей ортогонален любому вектору из другой плоскости. И, хотя есть две плоскости, взаимно ортогональные друг другу, но они не пересекаются, кроме лишь одной точки - нулевая точка в центре координат. Эта нулевая точка принадлежит обеим плоскостям, в ней значения $x_i$ равны нулю.

В трехмерном пространстве таким лентам отдаленно соответствуют плоскости, например, экватора и меридианов для геодезической системы координат, но в 3-мерном пространстве обертывающие ленты пересекаются (меридианы пересекаются с экватором), а в 4-мерном нет.

Если же брать интегрирование по поверхности, то для тессеракта это могут оказаться два контурных интеграла, оба с обходом по образующим плоскостям, отдаленно похожим на комплексные плоскости, но имеющие 3-мерные элементы приращений. Также любопытно, что направляющие векторы объемов приращений в произведении образуют вектор, коллинеарный вектору нормали грани. Например, для грани перпендикулярной к 1, приращение интегрирования есть объем образуемый произведением $ijk$, для грани $i$ произведением $1jk$, и так далее. То есть приращения есть объемы, ориентированные по нормалям граней тессеракта.

Если вращение в первой плоскости $(1,i)$ при интегрировании по контуру определяется умножением на $e^{id\varphi}$, то во второй плоскости вращение определяется тем же умножением слева: $$ x_0+ix_1 \rightarrow e^{id\varphi}(x_0+ix_1) $$ $$ jx_2+kx_3 = (x_2+ix_3)j \rightarrow e^{id\varphi}(x_2+ix_3)j $$