В предыдущих рассуждениях, имея дело с делителями нуля, мы сталкивались с делителями нуля то в одном виде, то в другом. Одни имеют скалярную часть, другие нет. Сколько всего форм у делителей нуля в бикватернионах и каковы они? Попробуем разобраться.
Самая первая форма, присутствующая еще в бикомплексных и паракомплексных числах, есть форма
1+Ii
Здесь и далее будет подразумеваться, если не говорится иное, что число может быть умножено на произвольное действительное число кроме конечно нуля:
α(1+Ii)
Если мы выберем в пространстве i, j, k векторы единичной величины
v1=v1xi+v1yj+v1zkv2=v2xi+v2yj+v2zk
таким образом, что они перпендикулярны друг другу, то можем заменить без потери смысла
v1=±iv2=±j
Все остальные значения, важные для умножения, мы можем получить вращениями одной из этих комбинаций.
Умножая исходное значение
1+Ii
на различные мнимые единицы, в том числе I, на векторы v1 и v2 (представленные условными i и j), мы получим число одного из подпространств (опуская действительный множитель):
1) Скалярно-полярная форма:
1+Ii
2) Псевдоскалярно-аксиальная
I+i
3) Полярно-аксиальная
Ii+j
Умножая исходную величину
1+Ii
не на одно число, а на сумму из двух, получим:
(1+Ii)(1+I)=1+I+Ii+i
Этот вариант образует четвертый вариант, как сумму из первого и второго.
Умножая на аксиальное число, но другое:
(1+Ii)(1+i)=1+i+Ii−I
Этот вариант лежит в том же (условном) пространстве, что и четвертый.
И, умножая на пару чисел с перпендикулярной единицей, получим:
(1+Ii)(1+j)=1+j+Ii+Ik
Это пятый вариант.
Что любопытно, для выражения четвертого варианта достаточно бикомплексных чисел, а для пятого - кокватернионов (обе алгебры есть подалгебры бикватернионов).
Итого, всего существует 5 форм или подпространств, в которых определяются делители нуля.
Комментариев нет:
Отправить комментарий