Скалярно-векторные повороты в кватернионах

В работе, выполненной еще давно,

Скалярно-пространственные повороты в кватернионах

описано преобразование, парное к векторному повороту. Но можно ли его вывести более прямолинейно и наглядно? Попробуем разобраться.

Пусть полуоператоры преобразования представлены как кватернионы $$ X'=AXA $$ Поскольку используем единичные кватернионы $$ |A|=1 $$ то они могут быть представлены как $$ A=\cos\alpha+\frac{i\alpha_1+j\alpha_2+k\alpha_3}{|\alpha|}\sin\alpha $$ $$ |\alpha|=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2} $$ Здесь величина с дробью и радикалом $$ \frac{i\alpha_1+j\alpha_2+k\alpha_3}{\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2}} $$ есть единичный векторный кватернион, и с его использованием в качестве мнимой единицы можем записать (аналог формулы Эйлера, но для кватернионов): $$ A=\cos\alpha+a\sin\alpha $$ $$ |a|=1 $$ Преобразуемый кватернион $X$ можем представить как сумму скалярной части, векторную часть сонаправленную заданному вектору $a$ и векторную составляющую, перпендикулярную вектору $a$, вектор $b$: $$ X=x_0+x_aa+x_bb $$ Кватернионное произведение двух векторных частей $x$ и $y$ равно сумме скалярного и векторного произведений: $$ xy=-(x,y)+[x,y] $$ $$ (x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $$ $$ [x,y]= \left( \begin{array}{c} x_3y_2-x_2y_3 \\ x_1y_3-x_3y_1 \\ x_2y_1-x_1y_2 \end{array} \right) $$ Для этих произведений выполняются равенства в силу сонаправленности $a$ и $a$ и перпендикулярности $a$ и $b$: $$ (a,a)=1 $$ $$ (a,b)=0 $$ $$ aa=-1 $$ $$ [a,a]=0 $$ Используя полученные представления, раскроем произведение: $$ \begin{array}{c} AXA=(\cos\alpha+a\sin\alpha)(x_0+x_aa+x_bb) \\ (\cos\alpha+a\sin\alpha)=(\cos\alpha+a\sin\alpha) \\ (x_0\cos\alpha+x_0a\sin\alpha+x_aa\cos\alpha-x_a\sin\alpha+\\ +x_bb\cos\alpha+x_b[b,a]\sin\alpha)= \\ =x_0\cos^2\alpha+x_0asin\alpha\cos\alpha+x_aa\cos^2\alpha- \\ -x_a\sin\alpha\cos\alpha+x_bb\cos^2\alpha+x_b[b,a]\sin\alpha\cos\alpha+\\ +ax_0\sin\alpha\cos\alpha-x_0\sin^2\alpha- \\ -x_a\sin\alpha\cos\alpha-x_aa\sin^2\alpha+\\ +x_b[a,b]\sin\alpha\cos\alpha+x_ba[b,a]\sin^2\alpha \end{array} $$ В силу того, что результат векторного произвдеения перпендикулярен обоим аргументам, выполняется: $$ a[b,a]=-(a,[b,a])+[a,[b,a]]=[a,[b,a]] $$ И двойное векторное произведение раскрывается: $$ [a,[b,a]]=b(a,a)-a(a,b)=b $$ У векторного произведения также используем его свойство: $$ [x,y]=-[y,x] $$ После сокращений и с переходом к функциям двойного угла получаем: $$ \begin{array}{c} X'=AxA=x_0\cos 2\alpha+x_0a\sin 2\alpha+ \\ +x_aa\cos 2\alpha-x_a\sin 2\alpha+x_bb \end{array} $$ Действительная часть $X'$ образуется как $$ Re(X')=x_0\cos 2\alpha-x_0\sin 2\alpha $$ Мнимая часть $X'$ образуется как $$ Im(X')=(x_0\sin 2\alpha+x_a\cos 2\alpha)a+x_bb $$ Очевидно, что векторная составляющая $X$ в направлении перпендикулярном к $a$ остается неизменной, а составляющая сонаправленная к $a$, вращается на угол $2\alpha$ в плоскости образованной направлением $a$ и действительной осью.

Таким образом, скалярно-векторное вращение на угол $\varphi$ задается как $$ e^{\varphi/2}Xe^{\varphi/2} $$ Поскольку левый и правый полуоператоры равны друг другу, очевидно что для некоммутативной алгебры они не образуют группу. А именно, если снчала выполняется вращение на угол $\alpha$, а затем на угол $\beta$, то $$ X'=e^{\beta/2}e^{\alpha/2}Xe^{\alpha/2}e^{\beta/2} $$ В общем случае $$ e^{\beta/2}e^{\alpha/2} \neq e^{\alpha/2}e^{\beta/2} $$ Поэтому скалярно-векторные вращения в общем случае не образуют группу, но в частном случае, когда $$ \beta = k\alpha $$ полуоператоры коммутируют $$ e^{k\alpha/2}e^{\alpha/2}=e^{\alpha/2}e^{k\alpha/2} $$ Но если рассматривать скалярно-векторные вращения совместно с 3-мерными векторными вращениями вида $$ X'=e^{\varphi/2}Xe^{\varphi/2} $$ то они образуют расширенную группу преобразований. Примерно как в СТО группа Лоренца расширяет группу 3-мерных вращений, дополняя пространственно-временными вращениями. Сами по себе пространственно-временные вращения не образуют группу, и композиция двух пространственно-временных вращений (неколлинеарных) содержит дополнительно вращение Вигнера.

Осевые симметрии, содержание