Скалярно-пространственные повороты в кватернионахописано преобразование, парное к векторному повороту. Но можно ли его вывести более прямолинейно и наглядно? Попробуем разобраться.
Пусть полуоператоры преобразования представлены как кватернионы X′=AXA Поскольку используем единичные кватернионы |A|=1 то они могут быть представлены как A=cosα+iα1+jα2+kα3|α|sinα |α|=√α21+α22+α23 Здесь величина с дробью и радикалом iα1+jα2+kα3√α21+α22+α23 есть единичный векторный кватернион, и с его использованием в качестве мнимой единицы можем записать (аналог формулы Эйлера, но для кватернионов): A=cosα+asinα |a|=1 Преобразуемый кватернион X можем представить как сумму скалярной части, векторную часть сонаправленную заданному вектору a и векторную составляющую, перпендикулярную вектору a, вектор b: X=x0+xaa+xbb Кватернионное произведение двух векторных частей x и y равно сумме скалярного и векторного произведений: xy=−(x,y)+[x,y] (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 [x,y]=(x3y2−x2y3x1y3−x3y1x2y1−x1y2) Для этих произведений выполняются равенства в силу сонаправленности a и a и перпендикулярности a и b: (a,a)=1 (a,b)=0 aa=−1 [a,a]=0 Используя полученные представления, раскроем произведение: AXA=(cosα+asinα)(x0+xaa+xbb)(cosα+asinα)=(cosα+asinα)(x0cosα+x0asinα+xaacosα−xasinα++xbbcosα+xb[b,a]sinα)==x0cos2α+x0asinαcosα+xaacos2α−−xasinαcosα+xbbcos2α+xb[b,a]sinαcosα++ax0sinαcosα−x0sin2α−−xasinαcosα−xaasin2α++xb[a,b]sinαcosα+xba[b,a]sin2α В силу того, что результат векторного произвдеения перпендикулярен обоим аргументам, выполняется: a[b,a]=−(a,[b,a])+[a,[b,a]]=[a,[b,a]] И двойное векторное произведение раскрывается: [a,[b,a]]=b(a,a)−a(a,b)=b У векторного произведения также используем его свойство: [x,y]=−[y,x] После сокращений и с переходом к функциям двойного угла получаем: X′=AxA=x0cos2α+x0asin2α++xaacos2α−xasin2α+xbb Действительная часть X′ образуется как Re(X′)=x0cos2α−x0sin2α Мнимая часть X′ образуется как Im(X′)=(x0sin2α+xacos2α)a+xbb Очевидно, что векторная составляющая X в направлении перпендикулярном к a остается неизменной, а составляющая сонаправленная к a, вращается на угол 2α в плоскости образованной направлением a и действительной осью.
Таким образом, скалярно-векторное вращение на угол φ задается как eφ/2Xeφ/2 Поскольку левый и правый полуоператоры равны друг другу, очевидно что для некоммутативной алгебры они не образуют группу. А именно, если снчала выполняется вращение на угол α, а затем на угол β, то X′=eβ/2eα/2Xeα/2eβ/2 В общем случае eβ/2eα/2≠eα/2eβ/2 Поэтому скалярно-векторные вращения в общем случае не образуют группу, но в частном случае, когда β=kα полуоператоры коммутируют ekα/2eα/2=eα/2ekα/2 Но если рассматривать скалярно-векторные вращения совместно с 3-мерными векторными вращениями вида X′=eφ/2Xeφ/2 то они образуют расширенную группу преобразований. Примерно как в СТО группа Лоренца расширяет группу 3-мерных вращений, дополняя пространственно-временными вращениями. Сами по себе пространственно-временные вращения не образуют группу, и композиция двух пространственно-временных вращений (неколлинеарных) содержит дополнительно вращение Вигнера.
Осевые симметрии, содержание
Комментариев нет:
Отправить комментарий