Необратимость умножения делителей нуля

Если мы знаем один из множителей и результат произведения, то обычно мы полагаем, что всегда можем вычислить второй множитель. Но вот в случае с делителями нуля это не так. Попробуем разобраться.

Возьмем в качестве делителя нуля бикомплексное число $$x=1+Ii$$ $$I^2=i^2=-1$$ $$Ii=iI\neq 1$$ И умножим его на другое число: $$a=a_0+Iia_1$$ $$ax=a_0+Iia_1+Iia_0+a_1$$ В результате получим также делитель нуля: $$ax=(a_0+a_1)(1+Ii)$$ Как итог, мы знаем один из множителей: $$x=1+Ii$$ и результат произведения: $$ax=(a_0+a_1)(1+Ii)$$ Но при этом из суммы $$a_0+a_1$$ мы никак не сможем выделить $a_0$ и $a_1$ по отдельности.

Собственно говоря, причина этого в том, что мы не имеем никакой возможности делить на делитель нуля чтобы из известного $ax$ и известного $x$ получить $a$ делением на $x$.

И, вообще говоря, эта особенность относится и к другим алгебрам, в которых присутствуют делители нуля.