Инвариантность скалярного произведения

Если есть скалярное произведение двух гиперкомплексных чисел и оба они испытывают одинаковое преобразование, то как преобразуется их скалярное произведение? Попробуем разобраться.

Для гиперкомплексных чисел $x$ и $y$ их скалярное произведение выводится как скалярная часть оператора, переводящего одно из них чисел в другое: $$S(x,y)=Re(x\overline{y})$$ здесь $\overline{y}$ - алгебраическое сопряжение. Положим, что оба числа испытывают преобразование: $$x\rightarrow axb=x'$$ $$y\rightarrow ayb=y'$$ В этом случае их скалярное произведение становится равным: $$S(x',y')=Re(x'\:\overline{y'})=Re(axb\:\overline{b}\:\overline{y}\:\overline{a})$$ Поскольку модули чисел $a$ и $b$ мы всегда можем вынести то считаем что $$|a|=|b|=1$$ Поэтому $$b\:\overline{b}=1$$ И получаем $$Re(ax\:\overline{y}\:\overline{a})$$ Само число $a$ может быть представлено как произведение чисто скалярного и чисто векторного числа: $$a=e^{\varphi_S}e^{\varphi_V}$$ Поскольку скалярные части коммутируют, они сокращаются: $$e^{\varphi_S}e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V}e^{-\varphi_S}= e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V}$$ Оставшаяся часть есть по своему физическому смыслу оператор векторного вращения на угол $2\varphi_V$. Для него используем свойство оставлять неизменной скалярную часть операнда.

То есть какой бы ни была величина $\varphi_V$, она не меняет скалярную часть $x\:\overline{y}$. То есть если вначале она была нулевая и исходная величина была $$Re(e^0x\:\overline{y}e^0)=Re(x\:\overline{y})$$ то при любой другой величине $\varphi_V$: $$Re(e^{\varphi_V}x\:\overline{y}e^{-\varphi_V})=Re(x\:\overline{y})$$ Таким образом, скалярное произведение гиперкомплексных чисел, выведенное как действительная часть их взаимного отношения $$S(x,y)=Re(x\overline{y})$$ остается инвариантной при преобразованиях вида $$x\rightarrow axb$$ если $$|a|=|b|=1$$ Преобразования, оставляющие инвариантным скалярное произведение, еще называются ортогональными преобразованиями.