У бикватернионов несколько мнимых единиц. Целых семь. И все они разные. Если добавить действительную единицу, то всего восемь. Действительно ли они все друг другу ортогональны? Попробуем разобраться.
Для определения ортогональности используем традиционное правило: две величины ортогональны если их скалярное произведение равно 0. Ну и, конечно, хотелось бы проверить что одинаковые единицы друг другу не ортогональны (то есть сами себе).
Скалярное произведение для гиперкомплексных чисел выводится как действительная часть взаимного отношения
$$
S(x,y)=Re(x\:\overline{y})
$$
Поэтому поинтересуемся алгебраическим сопряжением мнимых единиц. Поскольку для образования делителей нуля требуется конструкция не из одной, а из по меньшей мере двух единиц, например
$$
1+Ii
$$
то ни одна из единиц бикватернионов не являетмся делителем нуля и имеет алгебраически сопряженное число.
Любая единица бикватернионов в квадрате равна либо 1 либо -1. Соответственно, алгебраическое сопряжение единиц бикватернионов выглядит так:
$$
\begin{array}{c}
\overline{1}=1 \\
\overline{i}=-i \\
\overline{j}=-j \\
\overline{k}=-k \\
\overline{I}=-I \\
\overline{Ii}=Ii \\
\overline{Ij}=Ij \\
\overline{Ik}=Ik \\
\end{array}
$$
Соответственно, для любой единицы бикватернионов верно:
$$
Re(e_i,\overline{e}_i)=1
$$
То есть любая единица 1) не ортогональна сама себе и 2) строго сонаправлена самой себе.
Произведение же любой единицы на сопряженную другую единицу всегда дает число с нулевой действительной частью. А именно, произведение действительной единицы на мнимую дает мнимую единицу, а произведение двух мнимых единиц дает еще одну мнимую. Например:
$$
\begin{array}{c}
1\cdot \overline{I} = -I \\
Ii\cdot \overline{k} = Ij \\
i\cdot \overline{Ij} = -Ik
\end{array}
$$
Действительная часть результата равна нулю. Следовательно, все мнимые единицы не только сонаправлены сами себе, но и ортогональны каждая каждой другой.
Комментариев нет:
Отправить комментарий