Скалярное и векторное отношения в полимодулях

В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел", в третьей главе "Взаимные отношения", в разделе "Отношения как оператор" рассматриваются взаимные отношения двух гиперкомплексных чисел. Таких отношений, приводящих одно число к другому, два:

$$x\overline{y}$$ $$xy^{-1}$$ Эти две величины задают оператор, переводящий число $y$ в число $x$ и задающий их взаимное отношение.

Соответственно, скалярная часть такого отношения задает скалярное и псевдоскалярное произведение чисел $x$ и $y$, а векторная задает полярное и аксиальное векторное произведения.

Как было показано ранее (см. "Полимодули и обратные") для получения обратного им числа достаточно лишь матричного представления гиперкомплексного числа. И для получения алгебраически сопряженного (см. "Полимодули и алгебраическое сопряжение") нужно правило получения квадрата модуля, что имеет гораздо более узкое определение.

Если рассматривать первую форму взаимного отношения, скалярное произведение, например, то значение произведения пропорционально модулям чисел $x$ и $y$. Например, скалярное произведение для комплексных чисел или кватернионов образуется произведением с использованием лишь тригонометрического косинуса: $$Re(Scl(x\overline{y}))=|x||y|\cos(\varphi)$$ здесь $\varphi$ - некий взаимный угол между числами $x$ и $y$ и он не зависит от изменений абсолютных значений $|x|$ и $|y|$.

Тут можно сделать отступление с пояснением, что в общем же виде, для произвольно взятой гиперкомплексной алгебры такое скалярное произведение использует комплекс из как тригонометрических, так и гиперболических косинусов: $$Re(Scl(x\overline{y}))=|x||y|\prod\limits_{i,j}\cos(\varphi_i)ch(\psi_j)$$ Аналогичный вид имеет аксиальное векторное произведение: $$Ax(Vec(x\overline{y}))=[x,y]$$ $$|Ax(Vec(x\overline{y}))|=|x||y|\sin(\varphi)$$ Здесь $\varphi$ также не зависит от изменения абсолютных значений $|x|$ и $|y|$. Величина $\varphi$ использованная в скалярном и векторном произведении - вообще говоря, это разные углы, они совпадают лишь для случай нулевых скалярных частей исходных величин - кватернионов. Эта формула также приведена для случая комплексных чисел и кватернионов. Для других гиперкомплексных алгебр величина векторного произведения использует произведения как тригонометрических, так и гиперболических синусов и косинусов в зависимости от выбранной алгебры.

Если же использовать вторую форму взаимного отношения чисел $x$ и $y$: $$xy^{-1}$$ то в силу взаимосвязанности обратных и алгебраически сопряженных величин получаем: $$Re(Scl(xy^{-1}))=\frac{|x|}{|y|}\cos(\varphi)$$ Здесь $\varphi$ - тот же угол взаимного отношения, но абсолютные значения $|x|$ и $|y|$ уже не умножаются, а делятся. Соответственно, то же самое верно и для векторного произведения: $$|Ax(Vec(xy^{-1}))|=\frac{|x|}{|y|}\sin(\varphi)$$ здесь $\varphi$ - угол векторного отношения.

Если первая форма характеризуется величиной $|x||y|$, то вторая - величиной $|x|/|y|$. И, если $|y|=0$, то второй вариант не вычислим однозначно. Но при этом второй вариант применим там, где не вычислимы $|x|$ или $|y|$ по отдельности, то есть для чисел с отрицательными полимодулями.

Соответственно, можно сделать вывод, что в полимодулях скалярное, псевдоскалярное, полярное и аксиальное векторное отношения вычислимы как сумма произведений коэффициентов одного из чисел в первой степени и и отношения полиномов из коэффициентов второго числа. Хотя для некоторых алгебр эти отношения полиномов и существенно сокращаются.

Любопытным фактом может оказаться то, что если оперировать направляющими косинусами, матрицами перехода состоящими из направляющих косинусов и если величины орт являются единичными, то оба варианта отношения, как через алгебраически сопряженное так и через обратное, дают один и тот же результат. Поскольку единица умножить на единицу и единица поделить на единицу в обоих случаях равно единице, то формулы направляющих косинусов для единичных ортов полностью остаются в силе.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел