Processing math: 100%

вторник, 19 мая 2020 г.

Вектор ли векторное произведение?

Согласно общераспространенному определению, векторным произведением двух 3-мерных векторов является также 3-мерный вектор. Так ли это, попробуем разобраться.

Если два вектора A и B представлены в правом ортонормированном базисе своими координатами A=(axayaz) B=(bxbybz) то их векторное произведение имеет координаты [A,B]=C=(cxcycz) (cxcycz)=(aybzazbyazbxaxbzaxbyaybx) Здесь компоненты ci представлены не компонентами исходных векторов ai и bi, а их произведениями. Следовательно, C - это не вектор, а тензор. И при преобразованиях системы координат компоненты ci преобразуются не как компоненты вектора, а как компоненты тензора.

Чтобы проиллюстрировать это, приведем 2 простых преобразования системы координат.

В первом мы все компоненты векторов умножим на некое действительное число α: AαA=(αaxαayαaz) BαB=(αbxαbyαbz) Соответственно, векторное произведение C преобразуется: C[αA,αB]=(αayαbzαazαbyαazαbxαaxαbzαaxαbyαayαbx) Следовательно, объект C преобразуется так: C(α2cxα2cyα2cz) Очевидно, что он преобразуется не так, как векторы A и B.

Во втором иллюстративном преобразовании мы все компоненты векторов при координате x умножим на некое действительное число β: A=(βaxayaz) B=(βbxbybz) Соответственно, их векторное произведение C преобразуется: C(aybzazbyazβbxβaxbzβaxbyayβbx) Следовательно, объект C преобразуется так: C(cxβcyβcz) Здесь как раз компонента x никак не изменилась, а вот компоненты y и z изменились.

Оба выбранных преобразования очевидно иллюстрируют, что результат векторного произведения преобразуется не так как векторы. Следовательно, он не является вектором.

При этом существуют преобразования, например 3-мерного вращения, когда C преобразуется также как A и B.

Об этой особенности векторного произведения надо помнить в инженерных приложениях - если к системе векторов будут применяться преобразования и будет использоваться векторное произведение как вектор.

Комментариев нет:

Отправить комментарий