Согласно общераспространенному определению, векторным произведением двух 3-мерных векторов является также 3-мерный вектор. Так ли это, попробуем разобраться.
Если два вектора →A→A и →B→B представлены в правом ортонормированном базисе своими координатами →A=(axayaz) →B=(bxbybz) то их векторное произведение имеет координаты [→A,→B]=→C=(cxcycz) (cxcycz)=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx) Здесь компоненты ci представлены не компонентами исходных векторов ai и bi, а их произведениями. Следовательно, →C - это не вектор, а тензор. И при преобразованиях системы координат компоненты ci преобразуются не как компоненты вектора, а как компоненты тензора.
Чтобы проиллюстрировать это, приведем 2 простых преобразования системы координат.
В первом мы все компоненты векторов умножим на некое действительное число α: →A→α→A=(αaxαayαaz) →B→α→B=(αbxαbyαbz) Соответственно, векторное произведение →C преобразуется: →C→[α→A,α→B]=(αayαbz−αazαbyαazαbx−αaxαbzαaxαby−αayαbx) Следовательно, объект →C преобразуется так: →C→(α2cxα2cyα2cz) Очевидно, что он преобразуется не так, как векторы →A и →B.
Во втором иллюстративном преобразовании мы все компоненты векторов при координате x умножим на некое действительное число β: →A=(βaxayaz) →B=(βbxbybz) Соответственно, их векторное произведение →C преобразуется: →C→(aybz−azbyazβbx−βaxbzβaxby−ayβbx) Следовательно, объект →C преобразуется так: →C→(cxβcyβcz) Здесь как раз компонента x никак не изменилась, а вот компоненты y и z изменились.
Оба выбранных преобразования очевидно иллюстрируют, что результат векторного произведения преобразуется не так как векторы. Следовательно, он не является вектором.
При этом существуют преобразования, например 3-мерного вращения, когда →C преобразуется также как →A и →B.
Об этой особенности векторного произведения надо помнить в инженерных приложениях - если к системе векторов будут применяться преобразования и будет использоваться векторное произведение как вектор.
Если два вектора →A→A и →B→B представлены в правом ортонормированном базисе своими координатами →A=(axayaz) →B=(bxbybz) то их векторное произведение имеет координаты [→A,→B]=→C=(cxcycz) (cxcycz)=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx) Здесь компоненты ci представлены не компонентами исходных векторов ai и bi, а их произведениями. Следовательно, →C - это не вектор, а тензор. И при преобразованиях системы координат компоненты ci преобразуются не как компоненты вектора, а как компоненты тензора.
Чтобы проиллюстрировать это, приведем 2 простых преобразования системы координат.
В первом мы все компоненты векторов умножим на некое действительное число α: →A→α→A=(αaxαayαaz) →B→α→B=(αbxαbyαbz) Соответственно, векторное произведение →C преобразуется: →C→[α→A,α→B]=(αayαbz−αazαbyαazαbx−αaxαbzαaxαby−αayαbx) Следовательно, объект →C преобразуется так: →C→(α2cxα2cyα2cz) Очевидно, что он преобразуется не так, как векторы →A и →B.
Во втором иллюстративном преобразовании мы все компоненты векторов при координате x умножим на некое действительное число β: →A=(βaxayaz) →B=(βbxbybz) Соответственно, их векторное произведение →C преобразуется: →C→(aybz−azbyazβbx−βaxbzβaxby−ayβbx) Следовательно, объект →C преобразуется так: →C→(cxβcyβcz) Здесь как раз компонента x никак не изменилась, а вот компоненты y и z изменились.
Оба выбранных преобразования очевидно иллюстрируют, что результат векторного произведения преобразуется не так как векторы. Следовательно, он не является вектором.
При этом существуют преобразования, например 3-мерного вращения, когда →C преобразуется также как →A и →B.
Об этой особенности векторного произведения надо помнить в инженерных приложениях - если к системе векторов будут применяться преобразования и будет использоваться векторное произведение как вектор.
Комментариев нет:
Отправить комментарий