Согласно общераспространенному определению, векторным произведением двух 3-мерных векторов является также 3-мерный вектор. Так ли это, попробуем разобраться.
Если два вектора $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ представлены в правом ортонормированном базисе своими координатами $$ \overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) $$ то их векторное произведение имеет координаты $$ [\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}]=\overrightarrow{C}= \left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z - a_zb_y \\ a_zb_x - a_xb_z \\ a_xb_y - a_yb_x \end{array} \right) $$ Здесь компоненты $c_i$ представлены не компонентами исходных векторов $a_i$ и $b_i$, а их произведениями. Следовательно, $\overrightarrow{C}$ - это не вектор, а тензор. И при преобразованиях системы координат компоненты $c_i$ преобразуются не как компоненты вектора, а как компоненты тензора.
Чтобы проиллюстрировать это, приведем 2 простых преобразования системы координат.
В первом мы все компоненты векторов умножим на некое действительное число $\alpha$: $$ \overrightarrow{A}\rightarrow\alpha\overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} \alpha a_x \\ \alpha a_y \\ \alpha a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}\rightarrow\alpha\overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} \alpha b_x \\ \alpha b_y \\ \alpha b_z \end{array} \right) $$ Соответственно, векторное произведение $\overrightarrow{C}$ преобразуется: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow[\alpha\overrightarrow{A}, \alpha\overrightarrow{B}]= \left( \begin{array}{c} \alpha a_y \alpha b_z - \alpha a_z \alpha b_y \\ \alpha a_z \alpha b_x - \alpha a_x \alpha b_z \\ \alpha a_x \alpha b_y - \alpha a_y \alpha b_x \end{array} \right) $$ Следовательно, объект $\overrightarrow{C}$ преобразуется так: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} \alpha^2 c_x \\ \alpha^2 c_y \\ \alpha^2 c_z \end{array} \right) $$ Очевидно, что он преобразуется не так, как векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$.
Во втором иллюстративном преобразовании мы все компоненты векторов при координате $x$ умножим на некое действительное число $\beta$: $$ \overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} \beta a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} \beta b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) $$ Соответственно, их векторное произведение $\overrightarrow{C}$ преобразуется: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} a_yb_z - a_zb_y \\ a_z \beta b_x - \beta a_xb_z \\ \beta a_xb_y - a_y \beta b_x \end{array} \right) $$ Следовательно, объект $\overrightarrow{C}$ преобразуется так: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} c_x \\ \beta c_y \\ \beta c_z \end{array} \right) $$ Здесь как раз компонента $x$ никак не изменилась, а вот компоненты $y$ и $z$ изменились.
Оба выбранных преобразования очевидно иллюстрируют, что результат векторного произведения преобразуется не так как векторы. Следовательно, он не является вектором.
При этом существуют преобразования, например 3-мерного вращения, когда $\overrightarrow{C}$ преобразуется также как $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$.
Об этой особенности векторного произведения надо помнить в инженерных приложениях - если к системе векторов будут применяться преобразования и будет использоваться векторное произведение как вектор.
Если два вектора $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ представлены в правом ортонормированном базисе своими координатами $$ \overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) $$ то их векторное произведение имеет координаты $$ [\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}]=\overrightarrow{C}= \left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z - a_zb_y \\ a_zb_x - a_xb_z \\ a_xb_y - a_yb_x \end{array} \right) $$ Здесь компоненты $c_i$ представлены не компонентами исходных векторов $a_i$ и $b_i$, а их произведениями. Следовательно, $\overrightarrow{C}$ - это не вектор, а тензор. И при преобразованиях системы координат компоненты $c_i$ преобразуются не как компоненты вектора, а как компоненты тензора.
Чтобы проиллюстрировать это, приведем 2 простых преобразования системы координат.
В первом мы все компоненты векторов умножим на некое действительное число $\alpha$: $$ \overrightarrow{A}\rightarrow\alpha\overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} \alpha a_x \\ \alpha a_y \\ \alpha a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}\rightarrow\alpha\overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} \alpha b_x \\ \alpha b_y \\ \alpha b_z \end{array} \right) $$ Соответственно, векторное произведение $\overrightarrow{C}$ преобразуется: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow[\alpha\overrightarrow{A}, \alpha\overrightarrow{B}]= \left( \begin{array}{c} \alpha a_y \alpha b_z - \alpha a_z \alpha b_y \\ \alpha a_z \alpha b_x - \alpha a_x \alpha b_z \\ \alpha a_x \alpha b_y - \alpha a_y \alpha b_x \end{array} \right) $$ Следовательно, объект $\overrightarrow{C}$ преобразуется так: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} \alpha^2 c_x \\ \alpha^2 c_y \\ \alpha^2 c_z \end{array} \right) $$ Очевидно, что он преобразуется не так, как векторы $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$.
Во втором иллюстративном преобразовании мы все компоненты векторов при координате $x$ умножим на некое действительное число $\beta$: $$ \overrightarrow{A}= \left( \begin{array}{c} \beta a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) $$ $$ \overrightarrow{B}= \left( \begin{array}{c} \beta b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) $$ Соответственно, их векторное произведение $\overrightarrow{C}$ преобразуется: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} a_yb_z - a_zb_y \\ a_z \beta b_x - \beta a_xb_z \\ \beta a_xb_y - a_y \beta b_x \end{array} \right) $$ Следовательно, объект $\overrightarrow{C}$ преобразуется так: $$ \overrightarrow{C}\rightarrow \left( \begin{array}{c} c_x \\ \beta c_y \\ \beta c_z \end{array} \right) $$ Здесь как раз компонента $x$ никак не изменилась, а вот компоненты $y$ и $z$ изменились.
Оба выбранных преобразования очевидно иллюстрируют, что результат векторного произведения преобразуется не так как векторы. Следовательно, он не является вектором.
При этом существуют преобразования, например 3-мерного вращения, когда $\overrightarrow{C}$ преобразуется также как $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$.
Об этой особенности векторного произведения надо помнить в инженерных приложениях - если к системе векторов будут применяться преобразования и будет использоваться векторное произведение как вектор.
Комментариев нет:
Отправить комментарий