Факторизация полимодуля бикватерниона

Если есть матричное представление бикватерниона, то, взяв его определитель, мы получим его полимодуль. Вопрос - является ли полимодуль бикватерниона всегда больше или равным нулю или он может принимать отрицательные значения при каких-либо значениях компонент?

Для ответа на этот вопрос возьмем определитель и факторизуем его (факторизация - операция разложения на множители).

Для этого используем систему компьютерной алгебры, которая выполнит механическую работу по оперированию матрицей 8x8. Можно использовать любую, которая умеет оперировать матрицами и выполнять факторизацию. Здесь для определенности используем пакет компьютерной алгебры Maxima.

Сначала дадим определение матричному представлению бикватерниона, задав функцию генерации матрицы по значениям компонент:

makemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
matrix([x0,x1,x2,x3,-x4,-x5,-x6,-x7],
    [x1,x0,-x7,x6,x5,x4,-x3,x2],
    [x2,x7,x0,-x5,x6,x3,x4,-x1],
    [x3,-x6,x5,x0,x7,-x2,x1,x4],
    [x4,-x5,-x6,-x7,x0,-x1,-x2,-x3],
    [x5,-x4,x3,-x2,-x1,x0,-x7,x6],
    [x6,-x3,-x4,x1,-x2,x7,x0,-x5],
    [x7,x2,-x1,-x4,-x3,-x6,x5,x0]);

И запросим факторизацию определителя матрицы:

factor(determinant(makemat(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)));

В качестве результата пакет выдает такое выражение: $$ \begin{array}{c} (a7^4+2a6^2a7^2+2a5^2a7^2-2a4^2a7^2+2a3^2a7^2-\\ -2a2^2a7^2-2a1^2a7^2+2a0^2a7^2+8a2a3a6a7+8a1a3a5a7+\\ +8a0a3a4a7+a6^4+2a5^2a6^2-2a4^2a6^2-2a3^2a6^2+\\ +2a2^2a6^2-2a1^2a6^2+2a0^2a6^2+8a1a2a5a6+8a0a2a4a6+\\ +a5^4-2a4^2a5^2-2a3^2a5^2-2a2^2a5^2+2a1^2a5^2+2a0^2a5^2+\\ +8a0a1a4a5+a4^4+2a3^2a4^2+2a2^2a4^2+2a1^2a4^2+2a0^2a4^2+\\+ a3^4+2a2^2a3^2+2a1^2a3^2-2a0^2a3^2+a2^4+2a1^2a2^2-\\ -2a0^2a2^2+a1^4-2a0^2a1^2+a0^4)^2 \end{array} $$ Поскольку выражение полимодуля бикватерниона является квадратом, то оно всегда больше или равно нулю при любых значениях компонент.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел