Аберрация

Если известно как в бикватернионах формулируется преобразование Лоренца, то как в них описать явление аберрации? Попробуем разобраться.

Пусть наш наблюдатель движется по оси $x$ со скоростью $v$. Ранее мы уже видели вывод параметров полуоператоров преобразования Лоренца для движения со скоростью $v$: $$ dX' = e^{Ii\beta/2} dX e^{Ii\beta/2} $$ здесь величина гиперболического угла $\beta$ выражается через скорость: $$ th(\beta) = v/c $$ Теперь смоделируем движение света. За единицу приращения времени $dt$ свет проходит расстояние $cdt$. Пусть он приходит к наблюдателю под углом $\alpha$ в плоскости $OXY$ в направлении к наблюдателю, то есть с отрицательной по оси $X$ и $Y$ скоростью. $$ dX = cdt - Iicdt\cos(\alpha) - Ijcdt\sin(\alpha) $$ При выбранном преобразовании Лоренца этот вектор преобразуется: $$ (ch(\beta/2)+Iish(\beta/2))cdt(1-Ii\cos(\alpha)-Ij\sin(\alpha))(ch(\beta/2)+Iish(\beta/2)) $$ После раскрытия скобок и приведения подобных получаем: $$ \begin{array}{c} dX'=cdt(ch(\beta)-\cos(\alpha)sh(\beta)) - \\ - Iicdt(\cos(\alpha)ch(\beta)-sh(\beta)) - \\ - Ijcdt\sin(\alpha) \end{array}$$ Таким образом наблюдаемый угол $\alpha'$ между приращениями по осям $X$ и $Y$ составляет: $$ tg(\alpha')=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)ch(\beta)-sh(\beta)}= \frac{\sin(\alpha)\sqrt{1-v^2/c^2}}{\cos(\alpha)-v/c} $$ Этот же угол можно выразить через другие тригонометрические функции: $$ \sin(\alpha')=\frac{\sin(\alpha)\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v/c\cos(\alpha)} $$ $$ \cos(\alpha')=\frac{\cos(\alpha)-v/c}{1-v/c\cos(\alpha)} $$