Матричное представление паракомплексных чисел

Для получения матричного представления паракомплексных чисел выпишем покомпонентно результат произведения паракомплексных чисел так же, как и в случае с комплексными числами: $$ z=xy $$ $$ z_0+iz_1=(x_0+ix_1)(y_0+iy_1) $$ Поскольку два числа равны, должны быть равны также и их компоненты: $$ \left\{\begin{aligned} &z_0=x_0y_0+x_1y_1\\ &z_1=x_1y_0+x_0y_1 \end{aligned}\right. $$ В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на столбец: $$ \left(\begin{array}{c}z_0\\z_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_0\\y_1\end{array}\right) $$ Матричное представление $x$ здесь играет роль кандидата на искомый результат: $$ x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Проверим этот результат непосредственно: $$ \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}y_0&y_1\\y_1&y_0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} x_0y_0+x_1y_1&x_0y_1+x_1y_0\\ x_1y_0+x_0y_1&x_1y_1+x_0y_0 \end{array}\right) $$ Получаемая матрица равна искомому матричному представлению $z$: $$ z \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}z_0&z_1\\z_1&z_0\end{array}\right) $$ Для паракомплексных чисел, таким образом, эквивалентная замена базисных единиц гиперкомплексной алгебры на базисные матрицы будет такой: $$ \begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ &i \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) $$ Также, как и для комплексных чисел, для паракомплексных чисел верно утверждение, что любые паракомплексные числа могут быть заменены на соответствующие матрицы 2x2, но не любые матрицы 2x2 могут быть заменены на паракомплексные числа.

Также, как и для комплексных чисел, для паракомплексных существует парное матричное представление: $$ \begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ &i \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right) $$ Это следует из того факта, что если $$ i^2=1 $$ то $$ (-i)^2=1 $$ И, если все вхождения $i$ заменить на $-i$, то вид уравнений никак не изменится.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел