Матричное представление 2x2 бикомплексных чисел

Для получения матричного представления бикомплексных чисел матрицами размера 2x2 используем матричное представление комплексных чисел: $$1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$i\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$ Взяв это представление за основу, введем в эту систему внутреннюю мнимую единицу, соответствующую мнимой единице $I$: $$I\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right)$$ Мнимая единица $i$ слева означает мнимую единицу бикомплексных чисел, а справа означает мнимую единицу комплекснозначных коэффициентов матриц.

Таким образом, мнимой единице $Ii$ должна соответствовать матрица: $$Ii\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right)$$ Если зафиксируем порядок коэффициентов бикомплексного числа: $$x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3$$ то в матричном эквиваленте такое число должно выглядеть так: $$x=x_0 \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) +x_1 \left(\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) +x_2 \left(\begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right) +x_3 \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$ Это выражение после умножения $x_i$ на базисные матрицы и сложения матриц принимает вид: $$x= \left(\begin{array}{rr} x_0+ix_2 & -x_3-ix_1 \\ x_3+ix_1 & x_0+ix_2 \end{array}\right)$$ Хотя это выражение является матрицей, а матрицы в общем случае некоммутативны, тем не менее приведенный выше базис представления бикомплексного числа представляет собой матрицы, коммутирующие по умножению. Или можно говорить о наборе базисных матриц, коммутирующих друг с другом.

Приведенное представление бикомплексных чисел матрицами 2x2 с комплекснозначными коэффициентами не единственное. Само исходное представление комплексных чисел имеет два набора матриц. И, кроме того, мнимая единица $I$ может быть представлена и вторым способом: $$I\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} -i & 0 \\ 0 & -i \end{array}\right)$$ Таким образом, у матричного представления бикомплексных чисел комплекснозначными матрицами размера 2x2 имеется 4 взаимозаменяемых набора базисных единиц или наборов базисных матриц. Конечно, их не следует смешивать между собой при выполнении замены.

Интересно, что если где-то встретятся матрицы, соответствующие одному из вариантов представления бикомплексных чисел, то они могут быть заменены на сами бикомплексные числа.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел