Для получения матричного представления комплексных чисел выпишем покомпонентно
результат произведения комплексных чисел
z=xyz=xy
(z0+iz1)=(x0+ix1)(y0+iy1)(z0+iz1)=(x0+ix1)(y0+iy1)
Получаем покомпонентное равенство двух комплексных чисел:
{z0=x0y0−x2y1z1=x1y0+x0y1
В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на
столбец:
(z0z1)=(x0−x1x1x0)(y0y1)
Матричное представление числа x здесь играет роль кандидата на искомый
результат:
x⇔(x0−x1x1x0)
Проверим этот результат непосредственно:
(x0−x1x1x0)(y0−y1y1y0)=(x0y0−x1y1−x0y1−x1y0x1y0+x0y1−x1y1+x0y0)
Полученная матрица равна искомому матричному представлению комплексного числа
z:
z⇔(z0−z1z1z0)
Таким образом, если производить указанную замену комплексных чисел на матрицы с
коэффициентами взятыми из компонент комплексных чисел, то уравнения не меняют
вида. Например, если в комплексных числах было уравнение
a⋅b+c
то в матричном виде уравнение будет тем же самым, если выполнять
замену мнимых единиц матрицами:
1⇔(1001)i⇔(0−110)
x⇔x0(1001)+x1(0−110)
Полученная замена мнимых единиц матрицами не является единственной, поскольку
первоначальную систему уравнений мы могли бы выбрать записанной в ином порядке:
{z1=x0y1+x1y0z0=−x1y1+0y0
И эта система уравнений соответствует матричной записи
(z1z1)=(x0x1−x1x0)(y1y0)
В этом случае замена мнимых единиц получается в виде второго набора:
1⇔(1001)i⇔(01−10)
x⇔x0(1001)+x1(01−10)
Оба набора для замены мнимых единиц являются полностью эквивалентными и замена
на любой набор сохранит вид исходного уравнения в комплексных числах.
Разумеется, что, если был выбран один из наборов, то и все операции с матричным
вариантом уравнения должны быть только с использованием одного этого выбранного
набора.
Комплексные числа имеют 2 линейно-независимые компоненты, а матрицы 2x2 имеют 4 компоненты. Поэтому любое комплексное число может быть заменено на матрицу 2x2, но не любая матрица 2x2 может быть заменена на комплексное число.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комплексные числа имеют 2 линейно-независимые компоненты, а матрицы 2x2 имеют 4 компоненты. Поэтому любое комплексное число может быть заменено на матрицу 2x2, но не любая матрица 2x2 может быть заменена на комплексное число.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий