пятница, 9 декабря 2016 г.

Матричное представление комплексных чисел

Для получения матричного представления комплексных чисел выпишем покомпонентно результат произведения комплексных чисел z=xyz=xy (z0+iz1)=(x0+ix1)(y0+iy1)(z0+iz1)=(x0+ix1)(y0+iy1) Получаем покомпонентное равенство двух комплексных чисел: {z0=x0y0x2y1z1=x1y0+x0y1 В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на столбец: (z0z1)=(x0x1x1x0)(y0y1) Матричное представление числа x здесь играет роль кандидата на искомый результат: x(x0x1x1x0) Проверим этот результат непосредственно: (x0x1x1x0)(y0y1y1y0)=(x0y0x1y1x0y1x1y0x1y0+x0y1x1y1+x0y0) Полученная матрица равна искомому матричному представлению комплексного числа z: z(z0z1z1z0) Таким образом, если производить указанную замену комплексных чисел на матрицы с коэффициентами взятыми из компонент комплексных чисел, то уравнения не меняют вида. Например, если в комплексных числах было уравнение ab+c то в матричном виде уравнение будет тем же самым, если выполнять замену мнимых единиц матрицами: 1(1001)i(0110) xx0(1001)+x1(0110) Полученная замена мнимых единиц матрицами не является единственной, поскольку первоначальную систему уравнений мы могли бы выбрать записанной в ином порядке: {z1=x0y1+x1y0z0=x1y1+0y0 И эта система уравнений соответствует матричной записи (z1z1)=(x0x1x1x0)(y1y0) В этом случае замена мнимых единиц получается в виде второго набора: 1(1001)i(0110) xx0(1001)+x1(0110) Оба набора для замены мнимых единиц являются полностью эквивалентными и замена на любой набор сохранит вид исходного уравнения в комплексных числах. Разумеется, что, если был выбран один из наборов, то и все операции с матричным вариантом уравнения должны быть только с использованием одного этого выбранного набора.

Комплексные числа имеют 2 линейно-независимые компоненты, а матрицы 2x2 имеют 4 компоненты. Поэтому любое комплексное число может быть заменено на матрицу 2x2, но не любая матрица 2x2 может быть заменена на комплексное число.

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел

Комментариев нет:

Отправить комментарий