Матричное представление дуальных чисел

Для получения матричного представления дуальных чисел выпишем покомпонентно результат произведения дуальных чисел так же, как и в случае с комплексными числами: $$z=xy$$ $$\begin{aligned} z_0+\omega z_1 &= (x_0+\omega x_1)(y_0+\omega y_1) \\ z_0+\omega z_1 &= x_0y_0+\omega(x_1y_0+x_0y_1) \end{aligned}$$ Для равенства двух гиперкомплексных чисел должны быть равны также и их компоненты: $$\left\{\begin{aligned} &z_0=x_0y_0\\ &z_1=x_1y_0+x_0y_1 \end{aligned}\right.$$ В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на столбец: $$\left(\begin{array}{c}z_0\\z_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}x_0&0\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_0\\y_1\end{array}\right)$$ Здесь матричное представление $x$ играет роль кандидата на искомый результат: $$x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&0\\x_1&x_0\end{array}\right)$$ Проверим этот результат непосредственно: $$\left(\begin{array}{cc}x_0&0\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}y_0&0\\y_1&y_0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} x_0y_0&0\\ x_1y_0+x_0y_1&x_0y_0 \end{array}\right)$$ Получаемая матрица в точности соответствует искомому матричному представлению $z$: $$z \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}z_0&0\\z_1&z_0\end{array}\right)$$ Для дуальных чисел, таким образом, эквивалентная замена базисных единиц гиперкомплексной алгебры на базисные матрицы будет таковой: $$\begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ & \omega \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0&0\\1&0\end{array}\right) \end{aligned}$$ $$x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)$$ Также, как и для комплексных чисел, для дуальных чисел верно утверждение, что любые дуальные числа могут быть заменены на соответствующие матрицы 2x2, но не любые матрицы 2x2 могут быть заменены на дуальные числа.

Также, как и для комплексных чисел, в случае дуальных чисел мы можем выбрать второй вариант системы уравнений: $$\left\{\begin{aligned} & z_1=x_0y_1+x_1y_0 \\ & z_0=0 + x_0y_0 \end{aligned}\right.$$ Здесь в качестве кандидата на искомый результат видим замену гиперкомплексного числа на матрицу: $$x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\0&x_0\end{array}\right)$$ Проверяем результат непосредственно: $$\left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\0&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}y_0&y_1\\0&y_0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} x_0y_0&x_0y_1+x_1y_0\\ 0&x_0y_0 \end{array}\right)$$ Получаемая матрица в точности соответствует искомому матричному представлению $z$: $$z \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}z_0&z_1\\0&z_0\end{array}\right)$$ И, таким образом, для дуальных чисел, также как и для комплексных, второй вариант замены базисных единиц гиперкомплексной алгебры на базисные матрицы будет существовать: $$\begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ & \omega \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0&1\\0&0\end{array}\right) \end{aligned}$$ $$x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{rr}0&1\\0&0\end{array}\right)$$ Также как и для комплексных чисел, для матричных представлений дуальных чисел возможна замена на парные им в силу равенства: $$\omega\cdot\omega=(-\omega)\cdot(-\omega)$$ И соответствующие замены имеют вид: $$\begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ & \omega \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0&0\\-1&0\end{array}\right) \end{aligned}$$ $$x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{rr}0&0\\-1&0\end{array}\right)$$ $$\begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \\ & \omega \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0&-1\\0&0\end{array}\right) \end{aligned}$$ $$x \Leftrightarrow x_0 \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)+ x_1 \left(\begin{array}{rr}0&-1\\0&0\end{array}\right)$$

К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел