Матричные представления гиперкомплексных чисел

Матричное представление 2x2 бикватернионов

Бикватернионы образуются удвоением по Кэли алгебры кватернионов с помощью эллиптический мнимой единицы умножающейся коммутативно на базисные мнимые единицы кватерниона. В этом определении мы можем использовать вместо базисных мнимых единиц кватерниона набор базисных матриц с комплекснозначными коэффициентами, полученные ранее и с той же самой мнимой единицей. При этом определение никак не изменится и мы полностью сохраним коммутационные свойства.

Матричное представление 4x4 кватернионов

Для представления кватернионов матрицами мы используем следующий факт. Произведение гиперкомплексных чисел определено так, что результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам первого, так и по компонентам второго сомножителя. Или, если есть произведение

Матричное представление 2x2 кватернионов

В предыдущем разделе было описано как можно представить кватернионы матрицами. Получились матрицы размером 4x4, что для 4-мерного и 4-компонентного числа выглядит несколько расточительным. Конечно, есть интерес определить, возможно ли представить кватернион, который сам 4-компонентный, также 4-х компонентной матрицей, или матрицей 2x2.

Матричное представление 2x2 бикомплексных чисел

Для получения матричного представления бикомплексных чисел матрицами размера 2x2 используем матричное представление комплексных чисел:

Матричное представление 4x4 бикомплексных чисел

Для получения матричного представления бикомплексных чисел раскроем произведение двух бикомплексных чисел:

Матричное представление дуальных чисел

Для получения матричного представления дуальных чисел выпишем покомпонентно результат произведения дуальных чисел так же, как и в случае с комплексными числами:

Матричное представление паракомплексных чисел

Для получения матричного представления паракомплексных чисел выпишем покомпонентно результат произведения паракомплексных чисел так же, как и в случае с комплексными числами:

Матричное представление комплексных чисел

Для получения матричного представления комплексных чисел выпишем покомпонентно результат произведения комплексных чисел

Уравнения аналитичности функции одного бикватернионного переменного

Статья посвящена выявлению возможности построения для функции бикватернионного переменного уравнений аналитичности, аналогичных уравнениям Коши-Римана для функции комплексного переменного.

В статье не используются сколь-либо оригинальные математические идеи и принципы, поэтому автор вполне допускает предположение, что аналогичная работа могла быть выполнена и кем-то ранее, но в силу возможной малодоступности её она автору неизвестна. По этой же причине (неизвестности выполнения такой работы ранее) автор считает вполне уместным публикацию данной статьи в интернете.

Долго держались, но решились. О разработке для HP OpenVMS, Itanium и Aplha.

Не могу не прокомментировать небольшое, но знаковое, событие в мире софтвера.

Скалярно-пространственные повороты в кватернионах

Эта статья посвящена преобразованию кватернионов, которое мне ранее не встречалось нигде и, на мой взгляд, заслуживает быть описанным и опубликованным.

Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

При первой же попытке рассмотрения гиперкомплексных чисел в качестве основания для соответствующей геометрии возникает желание найти в гиперкомплексных числах аналоги геометрических понятий. И одной из первых трудностей становится поиск аналога скалярного произведения. Если в геометрии есть проекция отрезка, в векторной алгебре есть скалярное произведение, то чему же это понятие соответствует в гиперкомплексных числах?