Любопытные соотношения

В выражениях для квадратов тригонометрических и гиперболических функций оказались любопытные соотношения, допускающие существенные упрощения.

Если есть выражение вида $$ \sin^2x\mathrm{sh}^2y+\cos^2x\mathrm{ch}^2y $$ то его можно упростить. А именно, используем соотношения $$ \begin{array}{c} \sin^2x=1-\cos^2x \\ \mathrm{sh}^2y=-1+\mathrm{ch}^2y \end{array} $$ И подставим их в исходное уравнение: $$ \begin{array}{c} \sin^2x\mathrm{sh}^2y+\cos^2x\mathrm{ch}^2y = \\ (1-\cos^2x)(-1+\mathrm{ch}^2y)+\cos^2x\mathrm{ch}^2y = \\ -1+\mathrm{ch}^2y+\cos^2x-\cos^2x\mathrm{ch}^2y+\cos^2x\mathrm{ch}^2y = \\ -1+\mathrm{ch}^2y+\cos^2x = \\ \mathrm{sh}^2y+\cos^2x \end{array} $$ Остается как-бы урезанный фрагмент от исходного выражения.

Аналогично может быть упрощено еще одно, похожее выражение $$ \cos^2x\mathrm{sh}^2y+\sin^2x\mathrm{ch}^2y $$ Используем соотношения $$ \begin{array}{c} \cos^2x=1-\sin^2x \\ \mathrm{sh}^2y=-1+\mathrm{ch}^2y \end{array} $$ И подставим их в исходное уравнение: $$ \begin{array}{c} \cos^2x\mathrm{sh}^2y+\sin^2x\mathrm{ch}^2y = \\ (1-\sin^2x)(-1+\mathrm{ch}^2y)+\sin^2x\mathrm{ch}^2y = \\ -1+\mathrm{ch}^2y+\sin^2x-\sin^2x\mathrm{ch}^2y+\sin^2x\mathrm{ch}^2y = \\ -1+\mathrm{ch}^2y+\sin^2x = \\ \mathrm{sh}^2y+\sin^2x \end{array} $$