Кокватернионы образуют 4-мерную подалгебру бикватернионов, некоммутативную и содержащую делители нуля. Разберемся, как они могут быть представлены в матричном виде.
Для того, чтобы сохранить уже привычное обозначение кокватернионных мнимых единиц, сохраним обозначение из основной алгебры, из бикватернионов:
Q=q0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7
здесь i, j, k - кватернионные единицы и I - мимая единица (I2=−1), коммутирующая с остальными.
В алгебру кокватернионов входят действительная часть (q0), две полярные (пара из набора Ii, Ij или Ik) и одна из аксиальных (i, j, k), которая не содержится в паре полярных. А именно, если есть ранее обозначенный бикватернион Q, то подалгебры образуют наборы единиц:
(1IiIjk)
(1IjIki)
(1IkIij)
Выберем для определенности первую тройку единиц и раскроем произведение двух кокватернионов:
b=ax=(a0+Iia1+Ija2+ka3)⋅⋅(x0+Iix1+Ijx2+kx3)==a0x0+Iia0x1+Ija0x2+ka0x3++Iia1x0+a1x1−ka1x2−Ija1x3++Ija2x0+ka2x1+a2x2+Iia2x3++ka3x0+Ija3x1−Iia3x2−a3x3
Приравняв компоненты при мнимых единицах, получим:
b0=a0x0+a1x1+a2x2−a3x3b1=a1x0+a0x1−a3x2+a2x3b2=a2x0+a3x1+a0x2−a1x3b3=a3x0+a2x1−a1x2+a0x3
И в качестве матричного представления кокватерниона получаем:
a=(a0a1a2a3a1a0a3a2a2a3a0a1a3a2a1a0)
Соответственно, используя отображение из одного представления в другое, мы можем выполнять часть операций как в метричном, так и в гиперкомплексном представлении.
Полимодуль кокватерниона, вычисленный как определитель матричного представления, есть полином 4-го порядка:
P(x)=(x20−x21−x22+x23)2
Поскольку в произведении квадратов полиномов второго порядка
a2b2=(ab)2
этот квадрат неаметен, оперируют не четвертой, а второй степенью:
|x|2=x20−x21−x22+x23
Представленный вариант матрицы x×4 был получен из закона произведений мнимых единиц кокватернионов. Хотя, выступая в качестве подалгебры бикватернионов, кокватернионы имеют 3 набора мнимых единиц, их внутренние законы произведений совпадают. Поэтому таким способом можно получить только одно матричное представление.
Другим вариантом получить матричное представление кокватернионов будет использование симплектического матричного представления бикватернионов. В этом случае мы получаем 3 различных матричных представления 2×2.
Первое получаем из первого набора единиц подалгебры:
(1IiIjk)
1⇔(1001)
Ii⇔(−1001)
Ij⇔(0i−i0)
k⇔(0ii0)
Для второго набора единиц:
1⇔(1001)
Ij⇔(0i−i0)
Ik⇔(0−1−10)
i⇔(i00−i)
И для третьего набора единиц:
1⇔(1001)
Ik⇔(0−1−10)
Ii⇔(−1001)
j⇔(01−10)
Любопытно, что третий вариант оказался не содержащим комплексной мнимой единицы i совсем.
Также любопытно, что в свой приезд в Россию Роджер Пенроуз высказывался о кватернионах как о малопригодных для теории относительности объектах, разрабатываемые им твисторы выглядят практически как кокватернионы. Можно предположить, что он использовал второй вариант симплектического представления. Поэтому, если Роджер Пенроуз решит оставаться в рамках симплектического представления кокватернионов, то у него есть еще два варианта их представлений.
В теории относительности кокватернионы как сокращенный вариант бикватернионов представляют плоскость образованную двумя полярными векторами плюс время плюс аксиальный вектор, как-бы перпендикуляр или нормаль к этой плоскости. И общей группе преобразований Лоренца и вращений в 3-мерном пространстве соответствует то же самое но в 2-мерном пространстве.
Ссылки по теме
Комментариев нет:
Отправить комментарий