воскресенье, 23 октября 2022 г.

Матричное представление кокватернионов

Кокватернионы образуют 4-мерную подалгебру бикватернионов, некоммутативную и содержащую делители нуля. Разберемся, как они могут быть представлены в матричном виде.

Для того, чтобы сохранить уже привычное обозначение кокватернионных мнимых единиц, сохраним обозначение из основной алгебры, из бикватернионов: Q=q0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7Q=q0+Iiq1+Ijq2+Ikq3+Iq4+iq5+jq6+kq7 здесь i, j, k - кватернионные единицы и I - мимая единица (I2=1I2=1), коммутирующая с остальными.

В алгебру кокватернионов входят действительная часть (q0q0), две полярные (пара из набора IiIi, IjIj или IkIk) и одна из аксиальных (i, j, k), которая не содержится в паре полярных. А именно, если есть ранее обозначенный бикватернион QQ, то подалгебры образуют наборы единиц: (1IiIjk) (1IjIki) (1IkIij) Выберем для определенности первую тройку единиц и раскроем произведение двух кокватернионов: b=ax=(a0+Iia1+Ija2+ka3)(x0+Iix1+Ijx2+kx3)==a0x0+Iia0x1+Ija0x2+ka0x3++Iia1x0+a1x1ka1x2Ija1x3++Ija2x0+ka2x1+a2x2+Iia2x3++ka3x0+Ija3x1Iia3x2a3x3 Приравняв компоненты при мнимых единицах, получим: b0=a0x0+a1x1+a2x2a3x3b1=a1x0+a0x1a3x2+a2x3b2=a2x0+a3x1+a0x2a1x3b3=a3x0+a2x1a1x2+a0x3 И в качестве матричного представления кокватерниона получаем: a=(a0a1a2a3a1a0a3a2a2a3a0a1a3a2a1a0) Соответственно, используя отображение из одного представления в другое, мы можем выполнять часть операций как в метричном, так и в гиперкомплексном представлении.

Полимодуль кокватерниона, вычисленный как определитель матричного представления, есть полином 4-го порядка: P(x)=(x20x21x22+x23)2 Поскольку в произведении квадратов полиномов второго порядка a2b2=(ab)2 этот квадрат неаметен, оперируют не четвертой, а второй степенью: |x|2=x20x21x22+x23 Представленный вариант матрицы x×4 был получен из закона произведений мнимых единиц кокватернионов. Хотя, выступая в качестве подалгебры бикватернионов, кокватернионы имеют 3 набора мнимых единиц, их внутренние законы произведений совпадают. Поэтому таким способом можно получить только одно матричное представление.

Другим вариантом получить матричное представление кокватернионов будет использование симплектического матричного представления бикватернионов. В этом случае мы получаем 3 различных матричных представления 2×2.

Первое получаем из первого набора единиц подалгебры: (1IiIjk) 1(1001) Ii(1001) Ij(0ii0) k(0ii0) Для второго набора единиц: 1(1001) Ij(0ii0) Ik(0110) i(i00i) И для третьего набора единиц: 1(1001) Ik(0110) Ii(1001) j(0110) Любопытно, что третий вариант оказался не содержащим комплексной мнимой единицы i совсем.

Также любопытно, что в свой приезд в Россию Роджер Пенроуз высказывался о кватернионах как о малопригодных для теории относительности объектах, разрабатываемые им твисторы выглядят практически как кокватернионы. Можно предположить, что он использовал второй вариант симплектического представления. Поэтому, если Роджер Пенроуз решит оставаться в рамках симплектического представления кокватернионов, то у него есть еще два варианта их представлений.

В теории относительности кокватернионы как сокращенный вариант бикватернионов представляют плоскость образованную двумя полярными векторами плюс время плюс аксиальный вектор, как-бы перпендикуляр или нормаль к этой плоскости. И общей группе преобразований Лоренца и вращений в 3-мерном пространстве соответствует то же самое но в 2-мерном пространстве.

Ссылки по теме

Комментариев нет:

Отправить комментарий