Кокватернионы образуют 4-мерную подалгебру бикватернионов, некоммутативную и содержащую делители нуля. Разберемся, как они могут быть представлены в матричном виде.
Для того, чтобы сохранить уже привычное обозначение кокватернионных мнимых единиц, сохраним обозначение из основной алгебры, из бикватернионов:
$$
Q=q_0+Iiq_1+Ijq_2+Ikq_3+Iq_4+iq_5+jq_6+kq_7
$$
здесь i, j, k - кватернионные единицы и I - мимая единица ($I^2=-1$), коммутирующая с остальными.
В алгебру кокватернионов входят действительная часть ($q_0$), две полярные (пара из набора $Ii$, $Ij$ или $Ik$) и одна из аксиальных (i, j, k), которая не содержится в паре полярных. А именно, если есть ранее обозначенный бикватернион $Q$, то подалгебры образуют наборы единиц:
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & Ii & Ij & k
\end{array}
\right)
$$
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & Ij & Ik & i
\end{array}
\right)
$$
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & Ik & Ii & j
\end{array}
\right)
$$
Выберем для определенности первую тройку единиц и раскроем произведение двух кокватернионов:
$$
\begin{array}{c}
b=ax=(a_0+Iia_1+Ija_2+ka_3)\cdot \\
\cdot(x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3)= \\
=a_0x_0+Iia_0x_1+Ija_0x_2+ka_0x_3+\\
+Iia_1x_0+a1x_1-ka_1x_2-Ija_1x_3+\\
+Ija_2x_0+ka_2x_1+a_2x_2+Iia_2x_3+\\
+ka_3x_0+Ija_3x_1-Iia_3x_2-a_3x_3
\end{array}$$
Приравняв компоненты при мнимых единицах, получим:
$$
\begin{array}{c}
b_0=a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2-a_3x_3 \\
b_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3 \\
b_2=a_2x_0+a_3x_1+a_0x_2-a_1x_3 \\
b_3=a_3x_0+a_2x_1-a_1x_2+a_0x_3
\end{array}
$$
И в качестве матричного представления кокватерниона получаем:
$$
a=\left(
\begin{array}{cccc}
a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\
a_1 & a_0 & a_3 & a_2 \\
a_2 & a_3 & a_0 & a_1 \\
a_3 & a_2 & a_1 & a_0
\end{array}
\right)
$$
Соответственно, используя отображение из одного представления в другое, мы можем выполнять часть операций как в метричном, так и в гиперкомплексном представлении.
Полимодуль кокватерниона, вычисленный как определитель матричного представления, есть полином 4-го порядка:
$$
P(x)=(x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2)^2
$$
Поскольку в произведении квадратов полиномов второго порядка
$$
a^2b^2=(ab)^2
$$
этот квадрат неаметен, оперируют не четвертой, а второй степенью:
$$
|x|^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2
$$
Представленный вариант матрицы $x\times 4$ был получен из закона произведений мнимых единиц кокватернионов. Хотя, выступая в качестве подалгебры бикватернионов, кокватернионы имеют 3 набора мнимых единиц, их внутренние законы произведений совпадают. Поэтому таким способом можно получить только одно матричное представление.
Другим вариантом получить матричное представление кокватернионов будет использование симплектического матричного представления бикватернионов. В этом случае мы получаем 3 различных матричных представления $2\times 2$.
Первое получаем из первого набора единиц подалгебры:
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & Ii & Ij & k
\end{array}
\right)
$$
$$
1\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$
Ii\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$
Ij\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & i \\
-i & 0
\end{array}
\right)
$$
$$
k\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & i \\
i & 0
\end{array}
\right)
$$
Для второго набора единиц:
$$
1\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$
Ij\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & i \\
-i & 0
\end{array}
\right)
$$
$$
Ik\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
$$
$$
i\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}
\right)
$$
И для третьего набора единиц:
$$
1\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$
Ik\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
$$
$$
Ii\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
$$
$$
j\Leftrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}
\right)
$$
Любопытно, что третий вариант оказался не содержащим комплексной мнимой единицы $i$ совсем.
Также любопытно, что в свой приезд в Россию Роджер Пенроуз высказывался о кватернионах как о малопригодных для теории относительности объектах, разрабатываемые им твисторы выглядят практически как кокватернионы. Можно предположить, что он использовал второй вариант симплектического представления. Поэтому, если Роджер Пенроуз решит оставаться в рамках симплектического представления кокватернионов, то у него есть еще два варианта их представлений.
В теории относительности кокватернионы как сокращенный вариант бикватернионов представляют плоскость образованную двумя полярными векторами плюс время плюс аксиальный вектор, как-бы перпендикуляр или нормаль к этой плоскости. И общей группе преобразований Лоренца и вращений в 3-мерном пространстве соответствует то же самое но в 2-мерном пространстве.
Ссылки по теме
Комментариев нет:
Отправить комментарий