О неотрицательности полимодуля бикомплексных чисел

В ранее проведенном исследовании

О двух скалярных инвариантах

возник вопрос взятия квадратного корня из полимодуля бикомплексного числа. Всегда ли он неотрицателен, попробуем разобраться. Далее, в силу громоздкости выражений, не будем выписывать их все вручную, а применим систему компьютерной алгебры Maxima.

Для того чтобы Maxima могла оперировать бикомплексными числами дадим ей определение как заменять их на матрицы, которыми она оперировать уже умеет.

makemat(x0,x1,x2,x3):=
matrix([x0,x1,-x2,-x3],
[x1,x0,x3,x2],
[x2,-x3,x0,-x1],
[x3,-x2,-x1,x0]);

Операции с такими матрицами, сложение и умножение, соответствуют тем же операциям с бикомплексными числами с соответствующими коэффициентами.

Полимодулю (для бикомплексных чисел он четвертого порядка) соответствует определитель матрицы матричного представления. Для его задания заведем переменную аналитически и запросим определитель матрицы:

X:makemat(x0,x1,x2,x3);
dX:determinant(X);

Для того чтобы определить, бывает ли полимодуль отрицательным, используем известные нам данные. Первое - что для единицы полимодуль равен единице и значит положителен. Второе - что в случае когда число является делителем нуля, то есть $$x=a\cdot(1+Ii)$$ или $$x=a\cdot(1-Ii)$$ где $a$ неважно, то величина и значит полимодуль такого числа равны 0. И третье - что если в точках прохождения через ноль существует не равная 0 хотя бы одна из частных производных $$\frac{\partial}{\partial x_i}$$ то это означает что полимодуль переходит из положительной области через ноль в отрицательную (или обратно).

Запросим у системы Maxima все интересующие нас частные производные:

gra(X):=matrix([diff(X,x0)],
[diff(X,x1)],[diff(X,x2)],
[diff(X,x3)]);

И запросим вычисление частных производных для нашего полимодуля:

fX:gra(dX);

Для формиорвания произвольного бикомплексного числа-делителя нуля запросим произведение некоего числа на делитель нуля:

A:makemat(a0,a1,a2,a3);
Z:makemat(1,1,0,0);

Таким образом, задавая значение A, можем получить все множество точек делителей нуля:

P:A.Z;

И дял определения значения производной в точке зададим вычислить её:

V:(fX),x0=P[1,1],x1=P[1,2],
  x2=P[1,3],x3=P[1,4];

И для того чтобы сократить приведя подобные зададим упрощение выражения:

ratsimp(V);

И, вне зависимости от значения числа A (его коэффициентов) мы получаем в результате строго нули.

Проверим то же самое для парного делителя нуля:

Z:makemat(1,-1,0,0);

Таким образом, во всех точках прохождения полимодуля через 0 производные полимодуля нулевые. Следовательно, полимодуль бикомплексного числа всегда неотрицательная величина.

Мы исследовали лишь бикомплексные числа. Казалось бы, паракомплексные числа вида $$q=q_0+iq_1$$ где $i^2=1$ имеют отрицательнй полимодуль, и при этом являются подалгеброй бикомплексных чисел, но вот в бикомплексных числах полимодуль уже неотрицателен.

Приведенное рассцждение с определением, может ли полином принять отрицательное значение, строилось напрямую. То есть от имеющейся формы полимодуля.

Но есть и более короткое доказательство. Но оно использует непрямое рассуждение и идет не от полинома, а от коммутативности мнимых единиц бикомплексных чисел.

Если в образовании чисел участвуют две мнимых единицы $i$ и $I$, то для числа $x$ введем два сопряжения: $x^{(i)}$ если у всех компонентов с участием мнимой единицы $i$ меняются знаки $$x^{(i)}=x_0-Iix_1+Ix_2-ix_3$$ и $x^{(I)}$ если меняем знаки у компонент с участием единицы $I$: $$x^{(I)}=x_0-Iix_1-Ix_2+ix_3$$ В этом случае произведение $$xx^{(i)}$$ есть произведение на сопряженное по $i$ и в результате образуется комплексное число с единицей $I$. Его умножим на сопряденное ему по единице $I$ и получим действительное число. В результате таких произведений $$\left(xx^{(i)}\right)\left(xx^{(i)}\right)^{(I)}$$ получаем квадрат модуля комплексного числа $xx^{(i)}$ ,а он всегда неотрицателен. Так вот ранее проведенное исследование показало, что он и равен полимодулю.

Доказательство получается более коротких, но использует неочевидный ход рассуждений. Ссылки по теме:

• Матричные представления гиперкомплексных чисел
• Матричные представления гиперкомплексных чисел
• О двух скалярных инвариантах