Кроссминоры матричного представления и подалгебры
Используем матричное представление бикватерниона $$ a=a_0+Iia_1+Ija_2+Ika_3+Ia_4+ja_5+ja_6+ka_7 $$ в виде квадратной матрицы составленной из коэффициентов бикватерниона: $$ A=\left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & -a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 & a_6 & a_3 & a_4 & -a_1 \\ a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 & a_7 & -a_2 & a_1 & a_4 \\ a_4 & -a_5 & -a_6 & -a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_5 & -a_4 & a_3 & -a_2 & -a_1 & a_0 & -a_7 & a_6 \\ a_6 & -a_3 & -a_4 & a_1 & -a_2 & a_7 & a_0 & -a_5 \\ a_7 & a_2 & -a_1 & -a_4 & -a_3 & -a_6 & a_5 & a_0 \end{array} \right) $$ Выберем в этой матрице произвольные элементы на главной диагонали, например первый и второй. Через них проведем горизонтальные и вертикальные линии, выделив, соответственно, первую строку и первый столбец и вторую строку и второй столбец. На пересечениях этих строк и столбцов выделим попавшие в пересечения коэффициенты. В нашем случае попадают коэффициенты $$ \begin{array}{cc} a_0 & a_1 \end{array} $$ Все остальные коэффициенты приравняем 0. Полученную матрицу, чтобы отделять её от исходной, назовем отдельным названием, например кроссминором. Таким образом, у матричного представления бикватернионов по первому и второму элементу главной диагонали соответствует матрица кроссминора: $$ A_{12}=\left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_1 & a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -a_1 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & 0 & 0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_0 & -a_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_1 & 0 & 0 & a_0 & 0 \\ 0 & 0 & -a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_0 \end{array} \right) $$ Для второго примера выберем первый, второй и третий элемент главной диагонали. На пересечениях соответствующих строк и столбцов в этом случае стоят коэффициенты $$ \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_7 \end{array} $$ Оставив в матричном представлении бикватерниона лишь эти коэффициенты, получим кроссминор по первой, второй и третьей строке и столбцу: $$ A_{123}=\left( \begin{array}{rrrrrrrr} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -a_7 \\ a_1 & a_0 & -a_7 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_2 \\ a_2 & a_7 & a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -a_1 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_7 & -a_2 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a_7 & a_0 & -a_1 & -a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a_2 & -a_1 & a_0 & -a_7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_1 & -a_2 & a_7 & a_0 & 0 \\ a_7 & a_2 & -a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_0 \end{array} \right) $$ В силу симметрии матричного представления, если мы имеем произведение и сумму кроссминоров одинакового рода, например $A_{12}$ или $A_{123}$, то результатом как суммы так и произведения также является кроссминор того же рода, или бикватернион составленный только из коэффициентов при тех же самых мнимых единицах.
Например, если есть бикватернионы $a$ и $b$, составленные только из исходных коэффициентов 0 и 1, как было выделено в первом примере, то для суммы и произведения их матричных представлений верно: $$ A_{12}+B_{12}=C_{12} $$ $$ A_{12}B_{12}=D_{12} $$ Для кроссминоров из второго случая также верно: $$ A_{123}+B_{123}=C_{123} $$ $$ A_{123}B_{123}=D_{123} $$ Таким образом, кроссминоры матричного представления выделяют подалгебры исходной алгебры.
Последовательно выделяя различные кроссминоры матричного представления, мы получаем, соответствующие им наборы ненулевых коэффициентов алгебры бикватернионов, образующие подалгебры.
Таким образом, мы можем полностью перечислить все подалгебры, входящие в алгебру бикватернионов, с точностью до изоморфизма.
Подалгебры бикватернионов
Перечислим подалгебры бикватернионов, которые могут быть найдены самостоятельно.
Комплексные числа: $$ a=a_0+Ia_4 $$ $$ a=a_0+Ia_5 $$ $$ a=a_0+Ia_6 $$ $$ a=a_0+Ia_7 $$ Паракомплексные числа: $$ a=a_0+Iia_1 $$ $$ a=a_0+Ija_2 $$ $$ a=a_0+Ika_3 $$ Бикомплексные числа: $$ a=a_0+Iia_1+Ia_4+ia_5 $$ $$ a=a_0+Ija_2+Ia_4+ja_6 $$ $$ a=a_0+Ika_3+Ia_4+ka_7 $$ Кватернионы: $$ a=a_0+ia_5+ja_6+ka_7 $$ Кокватернионы: $$ a=a_0+Iia_1+Ija_2+ka_7 $$ $$ a=a_0+Ija_2+Ika_3+ia_5 $$ $$ a=a_0+Iia_1+Ika_3+ja_6 $$
Свойства кокватернионов
Рассмотрим свойства кокватернионов более подробно для общего знакомства с ними. Для этого выберем для них более каноническое обозначение, не пересекающееся по индексам с бикватернионами: $$ a=a_0+Iia_1+Ija_2+ka_3 $$ У кокватернионов полимодуль есть четная степень полинома: $$ a_0^2-a_1^2-a_2^2+a_3^2 $$ Эту величину и используют в качестве "квадрата" модуля кокватернионов: $$ |a|^2=a_0^2-a_1^2-a_2^2+a_3^2 $$ В нашем случае стоящее слева выражение квадрата модуля понимают условно, поскольку эта величина может быть и отрицательной. Правильная запись величины модуля кокватерниона, конечно, выполняется через полимодуль: $$ |a|^8=(a_0^2-a_1^2-a_2^2+a_3^2)^4 $$ что может быть сокращено без потери информации о знаке: $$ |a|^4=(a_0^2-a_1^2-a_2^2+a_3^2)^2 $$ У кокватернионов есть алгебраическое сопряжение, которое выглядит также как у кватернионов, в виде смены знаков у мнимых компонентов: $$ \bar{a}=a_0-Iia_1-Ija_2-ka_3^2 $$ И произведение кокватерниона на сопряженный ему и дает вышеописанный условный квадрат модуля: $$ |a|^2=a\bar{a} $$ Кокватернионы - это алгебра с делителями нуля, поскольку в ней квадрат модуля может быть нулем для числа, не равного нулю.
С точки зрения физической трактовки такие числа можно рассматривать как сокращенное число бикватернион, или как подмножество бикватернионов. Если бикватернион включает в себя скаляр, полярный 3-мерный вектор, псевдоскаляр и аксиальный 3-мерный вектор, то кокватернионы содержат лишь скаляр, 2-мерный полярный вектор и 1-мерный аксиальный вектор.
В некотором смысле, кокватернион задает время, 2-мерную плоскость и нормаль к ней. Все алгебраические операции кокватернионов одного рода (принадлежащие одной и той же плоскости) дают в результате кокватернион того же рода, лежащий в той же плоскости.
Для кокватернионов, как для подмножества бикватернионов, существуют преобразования группы Лоренца, сокращенные по направлениям гиперболического и 3-мерного вращений. Ограничение выражается в том, что гиперкомплексное представление углов преобразования должно принадлежать кокватерниону того же рода. В частности, гиперболический поворот движения в пространстве-времени должен иметь параметр лежащий лишь в полярной плоскости, образуемой ортами $Ii$ и $Ij$, а параметр 3-мерного вращения должен быть направлен только в направлении оси $k$.
Изоморфность подалгебр
Хотя мы и перечислили в качестве подалгебр некоторые и примеры, важным является лишь перечень видов подалгебр, но не их примеры. В действительности, примеров подалгебр бесконечное количество. Внутри вида подалгебр все их примеры изоморфны друг другу, поскольку допускают замену одного выбора на другой с точностью до замены обозначений.
В этом вопросе ключевым являются условия единичности и попарной ортогональности.
Все комплексные алгебры или подалгебры бикватернионов являются либо числом $$ a=a_0+Ia_4 $$ либо числами $$ a=a_0+a_1(\alpha i+\beta j+\gamma k) $$ если выполняется условие единичности $$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 $$ Или, если у всех выбранных чисел их мнимые части выражаются одинаковым набором коэффициентов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, то их мнимые части всегда сонаправлены и задание такой тройки коэффициентов задает один из вариантов подалгебры комплексных чисел, и все они изоморфны друг другу.
То же самое верно и в отношении подалгебр паракомплексных чисел: $$ a=a_0+Ia_1(\alpha i+\beta j + \gamma k)) $$ $$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 $$ Подалгебры, являющиеся бикомплексными числами, соответственно должны зафиксировать сонаправленность полярной и аксиальной частей: $$ a=a_0+Ia_1(\alpha i+\beta j + \gamma k)+Ia_2+a_3(\alpha i+\beta j + \gamma k) $$ $$ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 $$ Алгебры, изоморфные кватернионам, должны зафиксировать кроме единичности еще попарную ортогональность своих мнимых орт: $$ \begin{array}{c} a=a_0+a_1(\alpha_1 i+\beta_1 j + \gamma_1 k)+ \\ a_2(\alpha_2 i+\beta_2 j + \gamma_2 k)+ \\ a_3(\alpha_3 i+\beta_3 j + \gamma_3 k) \end{array} $$ $$ \alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2=1 $$ $$ \alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2=1 $$ $$ \alpha_3^2+\beta_3^2+\gamma_3^2=1 $$ $$ \alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2+\gamma_1\gamma_2=0 $$ $$ \alpha_1\alpha_3+\beta_1\beta_3+\gamma_1\gamma_3=0 $$ $$ \alpha_2\alpha_3+\beta_2\beta_3+\gamma_2\gamma_3=0 $$ И, если при выборе подалгебры эти соотношения выполняются, то эти подалшебры изоморфны алгебре кватернионов.
Из подалгебр кокватернионов изоморфными друг другу будут, соответственно, подалгебры вида $$ \begin{array}{c} a=a_0+Ia_1(\alpha_1 i+\beta_1 j + \gamma_1 k)+ \\ Ia_2(\alpha_2 i+\beta_2 j + \gamma_2 k)+ \\ a_3(\alpha_3 i+\beta_3 j + \gamma_3 k) \end{array} $$ если для коэффициентов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ выполняются условия единичности и попарной ортогональности, также как и для кватернионов.
Таким образом, в олгебре бикватернионов есть несколько видов подалгебр, которым соответствует бесконечное число различных выборов соотношений между коэффициентами $a_i$, задаваемые соответственно набором условий единичности и попарной ортогональности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Для кватернионов и кокватернионов таких условий для $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ недостаточно в силу того, что для них важно сохранение ориентирования осей, подчиняются ли орты $i$, $j$, $k$ правому правилу произведения или левому.
Для этого должно налагаться дополнительное условие на значение определителя $$ \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{array} \right| $$ Для кватернионов значение этого определителя должно быть +1 для правой ориентации и -1 для левой. Для кокватернионов значение определителя должно быть -1 для правой ориентации и +1 для левой.
В определенном смысле это есть выражение того факта, что кватернионы заданные различным направлением орт (или различными значениями $\alpha$, $\beta$, $\gamma$) можно получить друг из друга 3-мерным вращением: $$ a \rightarrow e^{\varphi}ae^{-\varphi} $$ $$ a+b \rightarrow e^{\varphi}ae^{-\varphi}+e^{\varphi}be^{-\varphi}= e^{\varphi}(a+b)e^{-\varphi} $$ $$ ab \rightarrow e^{\varphi}ae^{-\varphi}e^{\varphi}be^{-\varphi}= e^{\varphi}abe^{-\varphi} $$ поскольку такое вращение сохраняет ориентацию осей.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий