О композициях осевых симметрий

В предыдущем исследовании

Осевые симметрии

мы попробовали разобраться что такое осевые симметрии и каково их происхождение. Немного поднимем градус и рассмотрим в каких отношениях состоят осевые симметрии как друг с другом так и с другими преобразованиями. Пусть векторы $v$ и $u$ заданы как единичные $$|v|=|u|=1$$ и строго векторные: $$v=iv_1+jv_2+kv_3$$ $$u=iu_1+ju_2+ku_3$$ Если так, то они задают (каждый) преобразования осевой симметрии. Положим, что из них составляется композиция и сначала применяется преобразование $v$ и затем преобразование $u$: $$X'=vXv$$ $$X''=uX'u=uvXvu$$ Что представляет из себя произведение единичных кватернионов $uv$ и $vu$? $$ab=-(a,b)+[a,b]$$ $$uv=-\cos\varphi+w\sin\varphi$$ $$vu=-\cos\varphi-w\sin\varphi$$ здесь $\varphi$ - угол между векторными частями $u$ и $v$, а $w$ - единичный векторный кватернион, задающий направление векторного произведения векторных частей $u$ и $v$.

Итого, композицию двух осевых симметрий можно представить как $$-\cos\varphi+w\sin\varphi=-e^{-w\varphi}$$ $$X''=(-e^{-w\varphi})X(-e^{w\varphi})$$ Сократив умножение на действительные минусы, получим: $$X''=e^{-w\varphi}Xe^{w\varphi}$$ Это преобразование соответствует вращению на угол $-2\varphi$ в 3-мерном пространстве вокруг направляющего вектора $w$.

Таким образом, мы нашли алгебраическое доказательство теоремы:

Осевая теорема Эйлера

Взаимодействие двух осей симметрии n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными будут две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной, если исходные оси будут разного типа.

А именно, мы нашли доказательство её первой части, что композиция преобразований осевой симметрии есть преобразование 3-мерного вращения.

Рассмотрим композицию для второй части, а именно осевой симметрии и вращения: $$e^{w\varphi}vXve^{-w\varphi}$$ Здесь $w$ - единичный векторный кватернион задающий направление вращения на угол $2\varphi$.

Это выражение будет преобразованием осевой симметрии, если $$e^{w\varphi}v=ve^{-w\varphi}$$ Раскроем выражения левой и правой частей равенства: $$(\cos\varphi+w\sin\varphi)v=v\cos\varphi-(w,v)\sin\varphi+ [w,v]\sin\varphi$$ $$v(\cos\varphi-w\sin\varphi)=v\cos\varphi+(v,w)\sin\varphi- [v,w]\sin\varphi$$ Учитывая свойства векторного произведения $$[a,b]=-[b,a]$$ получаем, что эти выражения равны лишь в случае $$(w,v)=0$$ То есть эти два направления должны быть перпендикулярны. Таким образом, осевую теорему Эйлера нужно дополнить:

и инверсной, если исходные оси будут разного типа и перпендикулярны друг другу.

Осевые симметрии, содержание