О композициях осевых симметрий

В предыдущем исследовании

Осевые симметрии

мы попробовали разобраться что такое осевые симметрии и каково их происхождение. Немного поднимем градус и рассмотрим в каких отношениях состоят осевые симметрии как друг с другом так и с другими преобразованиями. Пусть векторы $v$ и $u$ заданы как единичные $$ |v|=|u|=1 $$ и строго векторные: $$ v=iv_1+jv_2+kv_3 $$ $$ u=iu_1+ju_2+ku_3 $$ Если так, то они задают (каждый) преобразования осевой симметрии. Положим, что из них составляется композиция и сначала применяется преобразование $v$ и затем преобразование $u$: $$ X'=vXv $$ $$ X''=uX'u=uvXvu $$ Что представляет из себя произведение единичных кватернионов $uv$ и $vu$? $$ ab=-(a,b)+[a,b] $$ $$ uv=-\cos\varphi+w\sin\varphi $$ $$ vu=-\cos\varphi-w\sin\varphi $$ здесь $\varphi$ - угол между векторными частями $u$ и $v$, а $w$ - единичный векторный кватернион, задающий направление векторного произведения векторных частей $u$ и $v$.

Итого, композицию двух осевых симметрий можно представить как $$ -\cos\varphi+w\sin\varphi=-e^{-w\varphi} $$ $$ X''=(-e^{-w\varphi})X(-e^{w\varphi}) $$ Сократив умножение на действительные минусы, получим: $$ X''=e^{-w\varphi}Xe^{w\varphi} $$ Это преобразование соответствует вращению на угол $-2\varphi$ в 3-мерном пространстве вокруг направляющего вектора $w$.

Таким образом, мы нашли алгебраическое доказательство теоремы:

Осевая теорема Эйлера

Взаимодействие двух осей симметрии n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными будут две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной, если исходные оси будут разного типа.

А именно, мы нашли доказательство её первой части, что композиция преобразований осевой симметрии есть преобразование 3-мерного вращения.

Рассмотрим композицию для второй части, а именно осевой симметрии и вращения: $$ e^{w\varphi}vXve^{-w\varphi} $$ Здесь $w$ - единичный векторный кватернион задающий направление вращения на угол $2\varphi$.

Это выражение будет преобразованием осевой симметрии, если $$ e^{w\varphi}v=ve^{-w\varphi} $$ Раскроем выражения левой и правой частей равенства: $$ (\cos\varphi+w\sin\varphi)v=v\cos\varphi-(w,v)\sin\varphi+ [w,v]\sin\varphi $$ $$ v(\cos\varphi-w\sin\varphi)=v\cos\varphi+(v,w)\sin\varphi- [v,w]\sin\varphi $$ Учитывая свойства векторного произведения $$ [a,b]=-[b,a] $$ получаем, что эти выражения равны лишь в случае $$ (w,v)=0 $$ То есть эти два направления должны быть перпендикулярны. Таким образом, осевую теорему Эйлера нужно дополнить:

и инверсной, если исходные оси будут разного типа и перпендикулярны друг другу.

Осевые симметрии, содержание