Осевые симметрии

В предыдущем исследовании

Скалярно-векторные повороты в кватернионах

мы попробовали разобраться что такое скалярно-векторное вращение, как оно выглядит и к чему приводит. Немного поднимем градус и рассмотрим особенности его частного случая.

А именно, пусть скалярно-векторное вращение выполняется на $180^{\circ}$. В этом случае полуоператоры вращения становятся чисто мнимыми кватернионами единичной величины. Например, при вращении в плоскости проходящей через ось $i$: $$ X'=iXi $$ Если $v$ задает направление векторной оси, и $|v|=1$, то в общем случае $$ X'=vXv $$ $$ Re(v)=0 $$ При таком вращении в плоскости, перпендикулярной оси $v$, ничего не изменяется, а в плоскости проходящей через $v$ и скалярную ось, значения меняются на умноженные на $-1$, например при $v=i$: $$ X=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ $$ X'=iXi=-x_0-ix_1+jx_2+kx_3 $$ Если рассматривать лишь 3-мерный вариант, с нулевой скалярной частью, то такое преобразование представляет собой зеркальное отражение плоскостью, перпендикулярной оси $v$ и проходящей через нулевую точку: $$ ix_1+jx_2+kx_3\rightarrow -ix_1+jx_2+kx_3 $$ Любопытно, что если к этому преобразованию добавить умножение на -1, то получим неизменность значений координат в плоскости проходящей через ось $v$ и смену знаков у координат, перпендикулярных оси. Например: $$ X=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ $$ -X'=-iXi=x_0+ix_1-jx_2-kx_3 $$ Такое преобразование уже есть преобразование осевой симметрии. В общем случае преобразование осевой симметрии с единичной осью $v$ выглядит в кватернионах так: $$ X'=-vXv $$ $$ |v|=1 $$ $$ Re(v)=0 $$ Если для скалярно-векторного вращения и для преобразования зеркальной симметрии полуоператоры равны, то здесь уже нет. Хорошо бы в этом преобразовании -1 внести в полуоператоры.

Но поскольку их два, надо -1 разнести на две части так, чтобыих произведение было равно -1 и при этом коммутировали с единицами кватернионов. Такая единица есть в бикватернионах: $$ I^2=-1 $$ $$ Ii=iI $$ $$ Ij=jI $$ $$ Ik=kI $$ И тогда в бикватернионах преобразование осевой симметрии выражается как: $$ X'=IvXIv $$ Это преобразование сохраняет значения по скалярной, псевдоскалярной осям и по векторным направлениям сонаправленным с осью $v$, и меняют знак у направлений перпендикулярных оси $v$. Это относится и к полярной и к аксиальной составляющим викватерниона $X$.

Итого, мы получили два осевых преобразования, зеркальное: $$ X'=vXv $$ и осевой симметрии: $$ X'=IvXIv $$ Также, как исходные скалярно-векторные вращения не образуют группу преобразований, оба осевых преоьразования не образуют группу осевых преобразований. Поскольку в общем случае $$ v_1v_2\neq v_2v_1 $$ В случае же когда два осевых преобразования коммутируют $$ v_2=kv_1 $$ исходя из требования $$ |v_2|=|v_1|=1 $$ два таких преобразования либо равны либо противоположны и $$ v_2v_1=\pm 1 $$ и, соответственно, два зеркальных преобразования с совпадающей осью дают тождественное преобразование: $$ X'=v_2v_1Xv_1v_2=(\pm 1)X(\pm 1)=X $$ Два осевых преобразования с совпадающей осью также дают тождественное преобразование: $$ X'=Iv_2Iv_1XIv_1Iv_2=X $$ В кватернионах выражение $-vXv$ при условии $|v|=1$ может рассматриваться как два вращения $$ -vXv=e^{-v\pi/2}Xe^{v\pi/2} $$ $$ vX(-v)=e^{v\pi/2}Xe^{-v\pi/2} $$ Здесь первое выражение означает вращение на $-\pi$ и второе - вращение на $\pi$ (радиан). Таким образом, оба эти вращения есть преобразования осевой симметрии.

Осевые симметрии, содержание