Скалярно-векторные повороты в кватернионахмы попробовали разобраться что такое скалярно-векторное вращение, как оно выглядит и к чему приводит. Немного поднимем градус и рассмотрим особенности его частного случая.
А именно, пусть скалярно-векторное вращение выполняется на 180∘180∘. В этом случае полуоператоры вращения становятся чисто мнимыми кватернионами единичной величины. Например, при вращении в плоскости проходящей через ось ii: X′=iXiX′=iXi Если vv задает направление векторной оси, и |v|=1|v|=1, то в общем случае X′=vXvX′=vXv Re(v)=0Re(v)=0 При таком вращении в плоскости, перпендикулярной оси vv, ничего не изменяется, а в плоскости проходящей через vv и скалярную ось, значения меняются на умноженные на −1−1, например при v=iv=i: X=x0+ix1+jx2+kx3X=x0+ix1+jx2+kx3 X′=iXi=−x0−ix1+jx2+kx3X′=iXi=−x0−ix1+jx2+kx3 Если рассматривать лишь 3-мерный вариант, с нулевой скалярной частью, то такое преобразование представляет собой зеркальное отражение плоскостью, перпендикулярной оси vv и проходящей через нулевую точку: ix1+jx2+kx3→−ix1+jx2+kx3ix1+jx2+kx3→−ix1+jx2+kx3 Любопытно, что если к этому преобразованию добавить умножение на -1, то получим неизменность значений координат в плоскости проходящей через ось vv и смену знаков у координат, перпендикулярных оси. Например: X=x0+ix1+jx2+kx3X=x0+ix1+jx2+kx3 −X′=−iXi=x0+ix1−jx2−kx3−X′=−iXi=x0+ix1−jx2−kx3 Такое преобразование уже есть преобразование осевой симметрии. В общем случае преобразование осевой симметрии с единичной осью vv выглядит в кватернионах так: X′=−vXvX′=−vXv |v|=1|v|=1 Re(v)=0Re(v)=0 Если для скалярно-векторного вращения и для преобразования зеркальной симметрии полуоператоры равны, то здесь уже нет. Хорошо бы в этом преобразовании -1 внести в полуоператоры.
Но поскольку их два, надо -1 разнести на две части так, чтобыих произведение было равно -1 и при этом коммутировали с единицами кватернионов. Такая единица есть в бикватернионах: I2=−1I2=−1 Ii=iIIi=iI Ij=jIIj=jI Ik=kIIk=kI И тогда в бикватернионах преобразование осевой симметрии выражается как: X′=IvXIvX′=IvXIv Это преобразование сохраняет значения по скалярной, псевдоскалярной осям и по векторным направлениям сонаправленным с осью vv, и меняют знак у направлений перпендикулярных оси vv. Это относится и к полярной и к аксиальной составляющим викватерниона XX.
Итого, мы получили два осевых преобразования, зеркальное: X′=vXvX′=vXv и осевой симметрии: X′=IvXIvX′=IvXIv Также, как исходные скалярно-векторные вращения не образуют группу преобразований, оба осевых преоьразования не образуют группу осевых преобразований. Поскольку в общем случае v1v2≠v2v1v1v2≠v2v1 В случае же когда два осевых преобразования коммутируют v2=kv1v2=kv1 исходя из требования |v2|=|v1|=1|v2|=|v1|=1 два таких преобразования либо равны либо противоположны и v2v1=±1v2v1=±1 и, соответственно, два зеркальных преобразования с совпадающей осью дают тождественное преобразование: X′=v2v1Xv1v2=(±1)X(±1)=XX′=v2v1Xv1v2=(±1)X(±1)=X Два осевых преобразования с совпадающей осью также дают тождественное преобразование: X′=Iv2Iv1XIv1Iv2=XX′=Iv2Iv1XIv1Iv2=X В кватернионах выражение −vXv−vXv при условии |v|=1|v|=1 может рассматриваться как два вращения −vXv=e−vπ/2Xevπ/2−vXv=e−vπ/2Xevπ/2 vX(−v)=evπ/2Xe−vπ/2vX(−v)=evπ/2Xe−vπ/2 Здесь первое выражение означает вращение на −π−π и второе - вращение на ππ (радиан). Таким образом, оба эти вращения есть преобразования осевой симметрии.
Осевые симметрии, содержание
Комментариев нет:
Отправить комментарий