Работа силы

Ускорение и сила, оглавление

Как в теории относительности выглядит, или может выглядеть, работа силы? На уровне эрудиции понятно, что сила есть некая производная импульса, а импульс есть некий интеграл силы. Но как именно это должно быть сформулировано для соответствия и лоренц-ковариантности, и наблюдаемым физическим явлениям, попробуем разобраться.

Под работой силы в классической физике понимается изменение энергии тела при перемещении его приложенной силой. И здесь под работой понимается скалярная величина, изменающая скалярную величину кинетической энергии, и она выражается через интеграл скалярного произведения силы на перемещение: $$ A=\int({\bf F},d{\bf s}) $$ Перейдя к скорости и сделав замену $$ d{\bf s}={\bf v}dt $$ можно получить то же самое, но выраженное через мощность.

Проблема использования такого подхода с попытками заменить использованные физические величины и математические операции на некие их аналоги в теории относительности возникают сразу и это не одна проблема.

Во-первых, в теории относительности кинетическая энергия не является скалярной величиной, это скалярная составляющая 4-вектора энергии-импульса. Соответственно, изменить 4-вектор можно лишь 4-вектором, но не скаляром. То есть работа не может быть скаляром, но должна быть 4-вектором.

Во-вторых, сила не является 4-вектором, это бивектор, имеющий происхождение в изменении бивектора параметров преобразований Лоренца. И соответственно, корректно образовать скалярное произведение бивектора на 4-вектор технически невозможно.

В-третьих, если продположить что существует процедура взятия векторной составляющей силы $$ {\bf F}=\left( \begin{array}{c} F_x \\ F_y \\ F_z \end{array}\right) $$ и векторной части приращения координат $$ d{\bf s}=\left( \begin{array}{c} dx \\ dy \\ dz \end{array}\right) $$ то в силу знакопеременности метрического тензора их скалярное произведение $$ ({\bf F},d{\bf s})=g_{ij}F^ids^j $$ получается отрицательным: $$ -F_xdx-F_ydy-F_zdz $$ Чтобы построить работу как физическую величину корректно, вернемся к началу формулировки и потребуем, чтобы работа могла корректно изменить кинетическую энергию. Для этого она должна быть 4-вектором и должна изменять одновременно и кинетическую энергию и импульс. При этом работа должна быть интегралом (предположительно), составленным из произведений малых приращений $ds$ и силы. Притом приращение по пути интегрирования должно быть 4-вектором и преобразовываться как 4-вектор, а сила должна быть бивекторм и преобразовываться как композиционная величина.

Изначально сила строится как произведение оператора 4-градиента на 4-вектор импульса: $$ F = \partial P $$ с наложением условий равенства нулю скалярной и псевдоскалярной составляющих, играющих роль уравнений неразрывности.

4-вектор импульса, если обозначать полуоператор преобразования Лоренца через $\varkappa$, преобразуется как: $$ P\rightarrow \varkappa P \bar{\varkappa}^* $$ Оператор 4-градиента преобразуется как обратная к 4-вектору величина: $$ \partial \rightarrow \varkappa^*\partial \bar{\varkappa} $$ Соответственно, их произведение преобразуется как бивектор: $$ F\rightarrow \varkappa^*\partial P \bar{\varkappa}^* $$ И для того, чтобы из произведения 4-вектора $ds$, преобразующегося как $$ ds\rightarrow \varkappa ds \bar{\varkappa}^* $$ на бивектор силы получить 4-вектор, изменяющий 4-вектор энергии-импульса, нужно найти соответствующие сопряжения: $$ \varkappa^{(1)}ds^{(2)}\varkappa^{(3)}\varkappa^*\partial P\bar{\varkappa}^* $$ Чтобы величина соответствовала принципу относительности Пуанкаре, внутри цепочки ее образования не должно быть полуоператоров. Следовательно, сопряжение 3 имеет вид: $$ \varkappa^{(3)}\varkappa^*=1 $$ $$ \varkappa^{(3)}=\bar{\varkappa}^* $$ Чтобы итоговая величина преобразовывалась как 4-вектор, сопряжение 1 должно быть взаимно сопряжено к полуоператору стоящему справа: $$ \varkappa^{(1)}=\varkappa $$ И величина $ds$ должна иметь сопряжение 2 такое чтобы преобразовываться кк 4-вектор: $$ ds\rightarrow \varkappa ds^{(2)}\bar{\varkappa}^* $$ то есть это случай отсутствия сопряжения $$ ds^{(2)}=ds $$ Итого, общий интеграл работы складывается как интеграл 4-векторной величины: $$ A = \int dsF $$ Поскольку это 4-вектор, по аналогии с 4-вектором импульса он может быть назван импульсом работы.

Общая формулировка изменения импульса от точки $a$ к точке $b$ может выглядеть как: $$ P(b)=P(a)+\int\limits_a^bds\partial P $$ Если раскрыть покомпонентно бикватернионное произведение подинтегрального выражения, то получится: $$ ds=cdt+Iidx+Ijdsy+Ikdz $$ $$ F=IiF_x^p+IjF_y^p+IkF_z^p+iF_x^a+jF_y^a+kF_z^a $$ Здесь компоненты $F^p$ обозначают полярную осставляющую силы и $F^a$ аксиальную.

В скалярную часть результата входят произведения компонент $$ F_x^Pdx+F_y^Pdy+F_z^Pdz $$ Мы получили правильное выражение для работы, наблюдаемое в экспериментах, если рассматривать лишь изменение кинетической энергии. Одновременно с изменением кинетической энергии импульс работы изменяет и векторную часть импульса: $$ F^pcdt+[d{\bf s},F^a] $$ Здесь справа стоит векторное произведение векторной части приращения координат на аксиальную часть силы.

Если сделать замену $$ d{\bf s}={\bf v}dt $$ и привести выражение для силы через бивектор ускорения $$ m(a/c-2\omega)=F $$ то получим что левая часть $$ F^pcdt $$ соответствует обычному классическому выражению $$ madt $$ и обозначает приращение импульса вдоль направления $a$.

И правая часть выражения $$ [{\bf v},F^a]dt $$ может быть преобразована с заменой $$ F^a=-2m\omega $$ Векторное произведение может быть преобразовано по правилам векторного произведения: $$ [{\bf v},-2m\omega]dt=2m[\omega,{\bf v}]dt $$ Здесь составляющая $$ 2[\omega,{\bf v}] $$ означает ускорение Кориолиса. Эта составляющая входит в выражение изменяющее импульс но не входит в выражение изменяющее кинетическую энергию. Следовательно, эта сила не меняя кинетической энергии просто отклоняет векторную часть импульса. Но полярная составляющая силы изменяет и импульс и кинетическую энергию.

Некоторую надежду на успех в построении работы силы в теории относительности дает то, что полученное выражение дает корректное значение для приращения кинетической энергии и то, что выражение соответствует принципу относительности Пуанкаре.

Но пока остается не до конца выясненный вопрос к чему приводит требование равенства нулю псевдоскалярной и аксиальной составляющих импульса, равно как и импульса работы, а также требование инвариантности массы как модуля 4-вектора импульса. Возможно, изменение импульса и кинетической энергии стоит формулировать не в терминах приращений как $$ P\rightarrow P+A $$ а в терминах полуоператоров, умножаемых на 4-вектор импульса.

Возможно, рассмотренный подход является лишь приближением в малом для таких полуоператоров. Или что работу совершает не сила, а что-то очень сходное с ней.

Ускорение и сила, оглавление