Ротор скорости

Если есть поле скоростей, то есть значение и направление скорости в точке зависит от координат точки, то величину скорости можно разложить на сумму составляющих по теореме Коши-Гельмгольца. Интересен результат взятия операции ротора от вектора скорости.

Согласно теореме Коши-Гельмгольца скорость можно разложить на: $$ V(r)=v_0+\omega \times r+grad \varphi(r) $$ Здесь $v_0$ - линейная скорость (поступательного движения), $\omega$ - вектор угловой скорости и $grad \varphi(r)$ - градиент некой скалярной функции. Применение операции ротора к первой и третьей составляющим дает нули.

Поэтому остается рассмотреть результат $$ rot \omega\times r $$ Для этого выпишем промежуточный вектор орбитальной скорости: $$ v=\omega\times r $$ $$ v_x=\omega_yz-\omega_zy $$ $$ v_y=\omega_zx-\omega_xz $$ $$ v_z=\omega_xy-\omega_yx $$ При взятии ротора $$ rot v = \nabla \times v $$ компонента результата по оси $x$: $$ \frac{\partial}{\partial y}(\omega_xy-\omega_yx)- \frac{\partial}{\partial z}(\omega_zx-\omega_xz)=2\omega_x $$ По компоненте $y$: $$ \frac{\partial}{\partial z}(\omega_yz-\omega_zy)- \frac{\partial}{\partial x}(\omega_xy-\omega_yx)=2\omega_y $$ И по компоненте $z$: $$ \frac{\partial}{\partial x}(\omega_zx-\omega_xz)- \frac{\partial}{\partial y}(\omega_yz-\omega_zy)=2\omega_z $$ То есть прямая проверка дает результат с довольно интересной зависимостью: $$ rot v=\nabla\times v=2\omega $$