Можно ли найти соответствие алгебре бикватернионов подходящей ей алгебре Клиффорда и найти соответствие мнимых единиц? Попробуем разобраться.
Для понимания что такое алгебры Клиффорда отметим важные для нашей задачи части их определения. В качестве основы алгебра строится на базисных единицах с общепринятыми правилами покомпонентного равенства нескольких чисел алгебры, равных между собой и независимости коэффициентов при мнимых единицах.
Базисные единицы обозначают общепринятым способом через
e1e2…en
Здесь n - максимальное значение, кторое может принимать индекс базисной единицы.
Кроме этих, алгебры Клиффорда всегда содержат базисную единицу e0, имеющую свойство единицы
e0ei=eie0e20=1e0=1
То есть алгебры Клиффорда являются алгебрами с единицей.
На основе базового набора из n одноиндексных единиц сторятся их произведения, также образующие базисные единицы, например:
eiej=eijeijek=eijk
Число алгебры Клиффорда есть агрегат (сумма) таких различных базисных единиц с соответствующими им коэффициентами.
Например, при n=1 число, или агрегат, представляется как
a0e0+a1e1
При n=2:
a0e0+a1e1+a2e2+a12e12
Здесь 12 означает два числа, одно 1, другое 2, а не одно двузначное число 12.
Теперь перейдем к отдельным свойствам базисных единиц, которые нам пригодятся.
Если индекс единицы не равен 0, то квадтар такой единицы равен:
eiei=eii
Если в последовательности индексов встречаются одинаковые, то пара сокращается, полагая что:
eii=1
Соответственно, если бы было число eiijk то оно сокращалось бы до ejk. Если пара совпадающих индексов встречается, то неважно, в каком месте последовательности индексов:
eiijk=ejiik=ejkii=ejk
К другому правилу, которое пригодится, относится правило перестановки индексов. А именно, если индексы различны, то их можно переставлять местами с ссоседними, сменив при этом знак единицы:
eij=−eji
Из правила сокращения парных и стоящих рядом индексов следует правило, что алгебры Клиффорда с обязательностью содержат по меньшей мере одну единицу, которая в квадрате равна 1. А в сочетании с вторым правилом следует вывод, что алгебры Клиффорда не содержат единиц, которые в квадрате равны 0. Их квадраты должны быть либо +1 либо -1.
Среди единиц получаемых агрегатов содержится одна, имеющая максимальное число различных индексов n. Например, для n=3 это единица
e123
В силу того, что при произведениях образующих базисную единицу число индексов может быть больше n и они сокращаются, их общее число не может превысить n. При этом в выбранной алгебре Клиффорда существует лишь одна единица, содержащая n индексов.
В зависимости от четности n базисная единица
e12⋯n
либо антикоммутирует с любой единицей при четном n либо коммутирует при нечетном n.
Например, если n=3, то
e1e123=e123e1=e23e23e123=e123e23=−e1
И при n=4:
e1e1234=−e1234e1
Теперь попробуем найти соответствие мнимых единиц бикватерниона
x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7
единицам алгебры Клиффорда. Здесь I, i, j и k - мнимые единицы, xi - коэффициенты.
Действительной единице бикватернионов очевидно соответствует единица e0. Поскольку алгебры Клиффорда описывают числа у которых по меньшей мере одна из единиц в квадрате равна 1, они описывают алгебры с делителями нуля. Бикватернионы соответствуют этому правилу.
По числу мнимых единиц в силу линейной независимости компонент при них искомой алгеброй Клиффорда может быть алгебра с агрегатами:
e0e1e2e3e12e23e13e123
В этой группе выделяется единица e123, которая в силу нечетности n должна коммутировать с другими. Проверим её квадрат:
e123e123=e123123=−e121323==e112323=e2323=−e2233=−1
По своим свойствам эта единица соответствует мнимой единице бикватернионов I.
Далее обращают на себя внимание единицы
e12e23e13
своей цикличностью умножения
e12e23=e13e23e13=−e21=e12
По своим коммутационным свойствам они соответствуют мнимым единицам бикватернионов i, j и k. В качестве одного из вариантов (их может быть несколько) для определенности зафиксируем порядок:
e12↔ie23↔je13↔k
И для установления соответствия единицам e1, e2 и e3 умножим единицы e12, e23 и e13 на единицу e123:
e123e23=−e1e123e13=e2e123e12=−e3
Соответственно, этим единицам в соответствие должны быть поставлены единицы бикватернионов Ii, Ij и Ik:
e1↔−Ije2↔Ike3↔−Ii
Для всех найденных соответствий полностью сохраняются как правила коммутации, так и результаты взятия квадратов, +1 или -1.
Итого, полный список отображений мнимых единиц алгебры Клиффорда на единицы бикватернионов может быть как один из вариантов следующий:
e0↔1e1↔−Ije2↔Ike3↔−Iie12↔ie23↔je13↔ke123↔I
Некоторое любопытство может представлять также вопрос, чему соответствует алгебра Клиффорда при n=2:
e0e1e2e12
В этой алгебре первая единица очевидно соответствует действительной 1, единицы e1 и e2 в квадрате равны +1 и по умножению не коммутируют. При этом единица e12 в квадрате равна -1 и по умножению не коммутирует ни с e1, ни с e2.
В алгебрах Кэли-Диксона таким соотношениям соответствует алгебра кокватернионов:
1IiIjk
Как один из вариантов, таблица соответствия единиц алгебры Клиффорда алгебре кокватернионов может быть такой:
e01e1Iie2Ije12−k
В силу того, что единиц три и их произведения цикличны и в силу того что −12=1 возможны также варианты с одновременной сменой знаков у двух мнимых единиц:
e01111e1Ii−IiIi−Iie2Ij−Ij−IjIje12−k−kkk
В отличие от алгебр Кэли-Диксона алгебры Клиффорда в некотором смысле утрачивают физику свойств мнимых единиц. В частности, в этих алгебрах нет понятия левой или правой системы координат. Также выглядит сомнительной идея обобщенной формулировки модуля, скалярного произведения, обобщенного правила вычисления обратного для произвольно заданного n.
В некотором смысле алгебры Клиффорда есть небольшой шаг из геометрических операций сложения в мир алгебр, добавив операцию умножения как построения агрегата. И, конечно, в алгебрах Клиффорда не найдутся аналоги алгебр без делителей нуля, если не прибегать к изобретательным шаманствам, например со специальными мнимыми единицами, существующими лишь у определенных базисных единиц. Например, для того, чтобы алгебру кокватернионов начать считать алгеброй кватернионов. Впрочем, алгебры Клиффорда могут оказаться весьма полезны там, где они акцентируют внимание на каких-либо ценных свойствах.
П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)
Комментариев нет:
Отправить комментарий