Processing math: 100%

понедельник, 6 ноября 2023 г.

Бикватернионы как алгебра Клиффорда

Можно ли найти соответствие алгебре бикватернионов подходящей ей алгебре Клиффорда и найти соответствие мнимых единиц? Попробуем разобраться.

Для понимания что такое алгебры Клиффорда отметим важные для нашей задачи части их определения. В качестве основы алгебра строится на базисных единицах с общепринятыми правилами покомпонентного равенства нескольких чисел алгебры, равных между собой и независимости коэффициентов при мнимых единицах.

Базисные единицы обозначают общепринятым способом через e1e2en Здесь n - максимальное значение, кторое может принимать индекс базисной единицы.

Кроме этих, алгебры Клиффорда всегда содержат базисную единицу e0, имеющую свойство единицы e0ei=eie0e20=1e0=1 То есть алгебры Клиффорда являются алгебрами с единицей.

На основе базового набора из n одноиндексных единиц сторятся их произведения, также образующие базисные единицы, например: eiej=eijeijek=eijk Число алгебры Клиффорда есть агрегат (сумма) таких различных базисных единиц с соответствующими им коэффициентами.

Например, при n=1 число, или агрегат, представляется как a0e0+a1e1 При n=2: a0e0+a1e1+a2e2+a12e12 Здесь 12 означает два числа, одно 1, другое 2, а не одно двузначное число 12.

Теперь перейдем к отдельным свойствам базисных единиц, которые нам пригодятся.

Если индекс единицы не равен 0, то квадтар такой единицы равен: eiei=eii Если в последовательности индексов встречаются одинаковые, то пара сокращается, полагая что: eii=1 Соответственно, если бы было число eiijk то оно сокращалось бы до ejk. Если пара совпадающих индексов встречается, то неважно, в каком месте последовательности индексов: eiijk=ejiik=ejkii=ejk К другому правилу, которое пригодится, относится правило перестановки индексов. А именно, если индексы различны, то их можно переставлять местами с ссоседними, сменив при этом знак единицы: eij=eji Из правила сокращения парных и стоящих рядом индексов следует правило, что алгебры Клиффорда с обязательностью содержат по меньшей мере одну единицу, которая в квадрате равна 1. А в сочетании с вторым правилом следует вывод, что алгебры Клиффорда не содержат единиц, которые в квадрате равны 0. Их квадраты должны быть либо +1 либо -1.

Среди единиц получаемых агрегатов содержится одна, имеющая максимальное число различных индексов n. Например, для n=3 это единица e123 В силу того, что при произведениях образующих базисную единицу число индексов может быть больше n и они сокращаются, их общее число не может превысить n. При этом в выбранной алгебре Клиффорда существует лишь одна единица, содержащая n индексов.

В зависимости от четности n базисная единица e12n либо антикоммутирует с любой единицей при четном n либо коммутирует при нечетном n.

Например, если n=3, то e1e123=e123e1=e23e23e123=e123e23=e1 И при n=4: e1e1234=e1234e1 Теперь попробуем найти соответствие мнимых единиц бикватерниона x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 единицам алгебры Клиффорда. Здесь I, i, j и k - мнимые единицы, xi - коэффициенты.

Действительной единице бикватернионов очевидно соответствует единица e0. Поскольку алгебры Клиффорда описывают числа у которых по меньшей мере одна из единиц в квадрате равна 1, они описывают алгебры с делителями нуля. Бикватернионы соответствуют этому правилу.

По числу мнимых единиц в силу линейной независимости компонент при них искомой алгеброй Клиффорда может быть алгебра с агрегатами: e0e1e2e3e12e23e13e123 В этой группе выделяется единица e123, которая в силу нечетности n должна коммутировать с другими. Проверим её квадрат: e123e123=e123123=e121323==e112323=e2323=e2233=1 По своим свойствам эта единица соответствует мнимой единице бикватернионов I.

Далее обращают на себя внимание единицы e12e23e13 своей цикличностью умножения e12e23=e13e23e13=e21=e12 По своим коммутационным свойствам они соответствуют мнимым единицам бикватернионов i, j и k. В качестве одного из вариантов (их может быть несколько) для определенности зафиксируем порядок: e12ie23je13k И для установления соответствия единицам e1, e2 и e3 умножим единицы e12, e23 и e13 на единицу e123: e123e23=e1e123e13=e2e123e12=e3 Соответственно, этим единицам в соответствие должны быть поставлены единицы бикватернионов Ii, Ij и Ik: e1Ije2Ike3Ii Для всех найденных соответствий полностью сохраняются как правила коммутации, так и результаты взятия квадратов, +1 или -1.

Итого, полный список отображений мнимых единиц алгебры Клиффорда на единицы бикватернионов может быть как один из вариантов следующий: e01e1Ije2Ike3Iie12ie23je13ke123I Некоторое любопытство может представлять также вопрос, чему соответствует алгебра Клиффорда при n=2: e0e1e2e12 В этой алгебре первая единица очевидно соответствует действительной 1, единицы e1 и e2 в квадрате равны +1 и по умножению не коммутируют. При этом единица e12 в квадрате равна -1 и по умножению не коммутирует ни с e1, ни с e2.

В алгебрах Кэли-Диксона таким соотношениям соответствует алгебра кокватернионов: 1IiIjk Как один из вариантов, таблица соответствия единиц алгебры Клиффорда алгебре кокватернионов может быть такой: e01e1Iie2Ije12k В силу того, что единиц три и их произведения цикличны и в силу того что 12=1 возможны также варианты с одновременной сменой знаков у двух мнимых единиц: e01111e1IiIiIiIie2IjIjIjIje12kkkk В отличие от алгебр Кэли-Диксона алгебры Клиффорда в некотором смысле утрачивают физику свойств мнимых единиц. В частности, в этих алгебрах нет понятия левой или правой системы координат. Также выглядит сомнительной идея обобщенной формулировки модуля, скалярного произведения, обобщенного правила вычисления обратного для произвольно заданного n.

В некотором смысле алгебры Клиффорда есть небольшой шаг из геометрических операций сложения в мир алгебр, добавив операцию умножения как построения агрегата. И, конечно, в алгебрах Клиффорда не найдутся аналоги алгебр без делителей нуля, если не прибегать к изобретательным шаманствам, например со специальными мнимыми единицами, существующими лишь у определенных базисных единиц. Например, для того, чтобы алгебру кокватернионов начать считать алгеброй кватернионов. Впрочем, алгебры Клиффорда могут оказаться весьма полезны там, где они акцентируют внимание на каких-либо ценных свойствах.

П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)

Комментариев нет:

Отправить комментарий