Кватернионы в алгебрах Клиффорда

В рассмотрении вопроса как представить бикватернионы в алгебрах Клиффорда

Бикватернионы как алгебра Клиффорда

были найдены соответствия алгебр кокватернионов и бикватернионов алгебрам Клиффорда соответственно n=2 и n=3. Но можно ли представить так же и кватернионы? Попробуем разобраться.

Профессор Рашевский в работе

П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)

приводит вариант с использованием алгебры Клиффорда $n=2$ но с комплексными коэффициентами. Для того, чтобы отличить добавленную мнимую единицу от гиперкомплексных единиц, обозначим ее через $i^*$, при том, что $i^{*2}=-1$.

Если есть базисные единицы $$ \begin{array}{cccc} e_0 & e_1 & e_2 & e_{12} \end{array} $$ то их закон произведений имеет вид $$ \begin{array}{c} e_1e_2=e_12 \\ e_2e_12=-e_1 \\ e_12e_1=-e_2 \\ e_1^2=1 \\ e_2^2=1 \\ e_{12}^2=-1 \end{array} $$ И предлагается перейти к алгебре Клиффорда $n=2$ с комплексными коэффициентами так, что одни базисные единицы умножаются на действительные числа, а другие на мнимые: $$ \begin{array}{c} e_0 \rightarrow 1e_0 = e_0 \\ e_1\rightarrow i^*e_1=e_1^* \\ e_2\rightarrow i^*e_2=e_2^* \\ e_{12}\rightarrow -1e_{12}=e_{12}^* \end{array} $$ Легко убедиться, что произвольные сложения и умножения не приводят к появлению комплексных коэффициентов, не являющихся ни чисто действительными или чисто мнимыми. И после такого перехода закон произведений базисных единиц полностью соответствует произведению кватернионных единиц: $$ \begin{array}{c} e_i^*e_i^*=-1 \\ e_1^*e_2^*=e_3^* \\ e_2^*e_3^*=e_1^* \\ e_3^*e_1^*=e_2^* \\ e_i^*e_j^*=-e_j^*e_i^* \end{array} $$ В действительности, конечно, комплексные числа сами по себе представляют двумерную коммутативную алгебру без делителей нуля. И И коэффициенты полученной алгебры Клиффорда также формальо становятся двумерными. Если комплексное число представлять как пару коэффициентов, то процедура введения мнимых единиц будет выглядеть так: $$ \begin{array}{c} a_0e_0\rightarrow(a_0,0)e_0=e_0e_0^* \\ a_1e_1\rightarrow(0,a_1)e_1=a_1e_1^* \\ a_2e_2\rightarrow(0,a_2)e_2=a_2e_2^* \\ a_{12}e_{12}\rightarrow(-a_{12},0)e_{12}=a_{12}e_{12}^* \end{array} $$ Закон произведения базисных единиц $e_i$ в сочетании с правилом произведения комплексных пар (представляющих комплексные числа) и дает в результате эффект соответствия новых единиц $e_i^*$ мнимым единицам кватернионов.

Аналогичным образом можно получить алгебру комплексных чисел из алгебры Клиффорда $n=1$ если ввести комплексные коэффициенты $$ \begin{array}{c} a_0e_0\rightarrow(a_0,0)e_0=a_0e_0^* \\ a_1e_1\rightarrow(0,a_1)e_1=a_1e_1^* \end{array} $$ Вторым способом получения кватернионов как алгебры Клиффорда является использование того факта, что кватернионы есть подалгебра бикватернионов.

То есть мы можем взять бикватернионы и использовать ненулевые коэффициенты у кватернионных единиц, а остальные положить строго равными 0. $$ \begin{array}{c} a_0e_0\rightarrow a_0e_0=a_0 \\ a_1e_1\rightarrow 0e_1 = 0 \\ a_2e_2\rightarrow 0e_2 = 0 \\ a_3e_3\rightarrow 0e_3 = 0 \\ a_{12}e_{12}\rightarrow a_{12}e_{12}=a_{12}i \\ a_{23}e_{23}\rightarrow a_{23}e_{23}=a_{23}j \\ a_{13}e_{13}\rightarrow a_{13}e_{13}=a_{13}k \\ a_{123}e_{123}\rightarrow 0e_{123}=0 \end{array} $$ При такой замене для коэффициентов выполняются коммутационные соотношения в точности соответствующие кватернионным мнимым единицам.

Очевидно, что при таком методе не требуется переход к комплексным коэффициентам.

Аналогично можно ввести и алгебру комплексных чисел как соответствующую подалгебру Клиффорда $n=2$: $$ \begin{array}{c} a_0e_0\rightarrow a_0e_0=a_0 \\ a_1e_1\rightarrow 0e_1=0 \\ a_2e_2\rightarrow 0e_2=0 \\ a_{12}e_{12}\rightarrow a_{12}e_{12}=a_{12}i \end{array} $$ либо как подалгебру алгебры Клиффорда $n=3$, оставляя лишь пары $$ \begin{array}{cc} a_0 & a_{12} \\ a_0 & a_{23} \\ a_0 & a_{13} \end{array} $$ Использование подалгебр не ставит результат в зависимость от свойств комплексных чисел и не требует многомерности коэффициентов.

Также может оказаться любопытным, что метод использования подалгебр дает возможность представить и алгебру бикомплексных чисел как подалгебру алгебры Клиффорда $n=3$. Хотя формально алгебры Клиффорда некоммутативны, а бикомплексные числа коммутативны.

Для этого достаточно использовать одну из четверок базисных единиц: $$ \begin{array}{cccc} e_0 & e_3 & e_{12} & e_{123} \\ e_0 & e_1 & e_{23} & e_{123} \\ e_0 & -e_2 & e_{13} & e_{123} \end{array} $$