Бикватернионы как алгебра Клиффордабыли найдены соответствия алгебр кокватернионов и бикватернионов алгебрам Клиффорда соответственно n=2 и n=3. Но можно ли представить так же и кватернионы? Попробуем разобраться.
Профессор Рашевский в работе
П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)приводит вариант с использованием алгебры Клиффорда n=2n=2 но с комплексными коэффициентами. Для того, чтобы отличить добавленную мнимую единицу от гиперкомплексных единиц, обозначим ее через i∗i∗, при том, что i∗2=−1i∗2=−1.
Если есть базисные единицы e0e1e2e12 то их закон произведений имеет вид e1e2=e12e2e12=−e1e12e1=−e2e21=1e22=1e212=−1 И предлагается перейти к алгебре Клиффорда n=2 с комплексными коэффициентами так, что одни базисные единицы умножаются на действительные числа, а другие на мнимые: e0→1e0=e0e1→i∗e1=e∗1e2→i∗e2=e∗2e12→−1e12=e∗12 Легко убедиться, что произвольные сложения и умножения не приводят к появлению комплексных коэффициентов, не являющихся ни чисто действительными или чисто мнимыми. И после такого перехода закон произведений базисных единиц полностью соответствует произведению кватернионных единиц: e∗ie∗i=−1e∗1e∗2=e∗3e∗2e∗3=e∗1e∗3e∗1=e∗2e∗ie∗j=−e∗je∗i В действительности, конечно, комплексные числа сами по себе представляют двумерную коммутативную алгебру без делителей нуля. И И коэффициенты полученной алгебры Клиффорда также формальо становятся двумерными. Если комплексное число представлять как пару коэффициентов, то процедура введения мнимых единиц будет выглядеть так: a0e0→(a0,0)e0=e0e∗0a1e1→(0,a1)e1=a1e∗1a2e2→(0,a2)e2=a2e∗2a12e12→(−a12,0)e12=a12e∗12 Закон произведения базисных единиц ei в сочетании с правилом произведения комплексных пар (представляющих комплексные числа) и дает в результате эффект соответствия новых единиц e∗i мнимым единицам кватернионов.
Аналогичным образом можно получить алгебру комплексных чисел из алгебры Клиффорда n=1 если ввести комплексные коэффициенты a0e0→(a0,0)e0=a0e∗0a1e1→(0,a1)e1=a1e∗1 Вторым способом получения кватернионов как алгебры Клиффорда является использование того факта, что кватернионы есть подалгебра бикватернионов.
То есть мы можем взять бикватернионы и использовать ненулевые коэффициенты у кватернионных единиц, а остальные положить строго равными 0. a0e0→a0e0=a0a1e1→0e1=0a2e2→0e2=0a3e3→0e3=0a12e12→a12e12=a12ia23e23→a23e23=a23ja13e13→a13e13=a13ka123e123→0e123=0 При такой замене для коэффициентов выполняются коммутационные соотношения в точности соответствующие кватернионным мнимым единицам.
Очевидно, что при таком методе не требуется переход к комплексным коэффициентам.
Аналогично можно ввести и алгебру комплексных чисел как соответствующую подалгебру Клиффорда n=2: a0e0→a0e0=a0a1e1→0e1=0a2e2→0e2=0a12e12→a12e12=a12i либо как подалгебру алгебры Клиффорда n=3, оставляя лишь пары a0a12a0a23a0a13 Использование подалгебр не ставит результат в зависимость от свойств комплексных чисел и не требует многомерности коэффициентов.
Также может оказаться любопытным, что метод использования подалгебр дает возможность представить и алгебру бикомплексных чисел как подалгебру алгебры Клиффорда n=3. Хотя формально алгебры Клиффорда некоммутативны, а бикомплексные числа коммутативны.
Для этого достаточно использовать одну из четверок базисных единиц: e0e3e12e123e0e1e23e123e0−e2e13e123
Комментариев нет:
Отправить комментарий