понедельник, 13 ноября 2023 г.

Кватернионы в алгебрах Клиффорда

В рассмотрении вопроса как представить бикватернионы в алгебрах Клиффорда
Бикватернионы как алгебра Клиффорда
были найдены соответствия алгебр кокватернионов и бикватернионов алгебрам Клиффорда соответственно n=2 и n=3. Но можно ли представить так же и кватернионы? Попробуем разобраться.

Профессор Рашевский в работе
П. К. Рашевский, “Теория спиноров”, УМН, 10:2(64)
приводит вариант с использованием алгебры Клиффорда n=2n=2 но с комплексными коэффициентами. Для того, чтобы отличить добавленную мнимую единицу от гиперкомплексных единиц, обозначим ее через ii, при том, что i2=1i2=1.

Если есть базисные единицы e0e1e2e12 то их закон произведений имеет вид e1e2=e12e2e12=e1e12e1=e2e21=1e22=1e212=1 И предлагается перейти к алгебре Клиффорда n=2 с комплексными коэффициентами так, что одни базисные единицы умножаются на действительные числа, а другие на мнимые: e01e0=e0e1ie1=e1e2ie2=e2e121e12=e12 Легко убедиться, что произвольные сложения и умножения не приводят к появлению комплексных коэффициентов, не являющихся ни чисто действительными или чисто мнимыми. И после такого перехода закон произведений базисных единиц полностью соответствует произведению кватернионных единиц: eiei=1e1e2=e3e2e3=e1e3e1=e2eiej=ejei В действительности, конечно, комплексные числа сами по себе представляют двумерную коммутативную алгебру без делителей нуля. И И коэффициенты полученной алгебры Клиффорда также формальо становятся двумерными. Если комплексное число представлять как пару коэффициентов, то процедура введения мнимых единиц будет выглядеть так: a0e0(a0,0)e0=e0e0a1e1(0,a1)e1=a1e1a2e2(0,a2)e2=a2e2a12e12(a12,0)e12=a12e12 Закон произведения базисных единиц ei в сочетании с правилом произведения комплексных пар (представляющих комплексные числа) и дает в результате эффект соответствия новых единиц ei мнимым единицам кватернионов.

Аналогичным образом можно получить алгебру комплексных чисел из алгебры Клиффорда n=1 если ввести комплексные коэффициенты a0e0(a0,0)e0=a0e0a1e1(0,a1)e1=a1e1 Вторым способом получения кватернионов как алгебры Клиффорда является использование того факта, что кватернионы есть подалгебра бикватернионов.

То есть мы можем взять бикватернионы и использовать ненулевые коэффициенты у кватернионных единиц, а остальные положить строго равными 0. a0e0a0e0=a0a1e10e1=0a2e20e2=0a3e30e3=0a12e12a12e12=a12ia23e23a23e23=a23ja13e13a13e13=a13ka123e1230e123=0 При такой замене для коэффициентов выполняются коммутационные соотношения в точности соответствующие кватернионным мнимым единицам.

Очевидно, что при таком методе не требуется переход к комплексным коэффициентам.

Аналогично можно ввести и алгебру комплексных чисел как соответствующую подалгебру Клиффорда n=2: a0e0a0e0=a0a1e10e1=0a2e20e2=0a12e12a12e12=a12i либо как подалгебру алгебры Клиффорда n=3, оставляя лишь пары a0a12a0a23a0a13 Использование подалгебр не ставит результат в зависимость от свойств комплексных чисел и не требует многомерности коэффициентов.

Также может оказаться любопытным, что метод использования подалгебр дает возможность представить и алгебру бикомплексных чисел как подалгебру алгебры Клиффорда n=3. Хотя формально алгебры Клиффорда некоммутативны, а бикомплексные числа коммутативны.

Для этого достаточно использовать одну из четверок базисных единиц: e0e3e12e123e0e1e23e123e0e2e13e123

Комментариев нет:

Отправить комментарий