4-мерный объем как псевдоскалярное произведение двух векторных

Если 3-мерный объем, построенный на 3-х векторах, может быть представлен в виде псевдоскалярного произведения одного из этих векторов на векторное произведение двух других, то может ли существовать аналогичное соотношение для 4-мерного объема, построенного на 4-х векторах пространства-времени? Попробуем разобраться.

Для этого сначала рассмотрим, как выглядит произведение для 4-мерных векторов и как выглядит определитель матрицы, задающей 4-мерный объем.

Для векторного произведения $a$ и $b$ возьмем векторную часть взаимного отношения $$ \mathrm{Im}(a,\bar{b}) $$ Если бикватернионы в пространстве-времени задаются как $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3 $$ то произведение $a\bar{b}$ будет иметь следующий вид: $$ \begin{array}{c} (a_0+Iia_1+Ija_2+Ika_3)\cdot \\ \cdot(b_0+Iib_1+Ijb_2+Ikb_3) = \\ a_0b_0-Iia_ob_1-Ija_0b_2-Ika_0b_3+\\ +Iia_1b_0-a_1b_1+ka_1b_2-ja_1b_3+ \\ +Ija_2b_0-ka_2b_1-a_2b_2+ia_2b_3+ \\ +Ika_3b_0+ja_3b_1-ia_3b_2-a_3b_3 \end{array} $$ В этом произведении к векторым компонентам относятся компоненты, в образовании которых участвуют единицы $i$, $j$, $k$. И это векторное произведение есть бивектор, состоящий из полярного вектора: $$ \begin{array}{c} -Ii(a_0b_1-a_1b_0)- \\ -Ij(a_0b_2-a_2b_0)- \\ -Ik(a_0b_3-a_3b_0) \end{array} $$ И аксиального вектора: $$ \begin{array}{c} i(a_2b_3-a_3b_2)+\\ +(a_3b_1-a_1b_3)+\\ +k(a_1b_2-a_2b_1) \end{array} $$ При смене ориентирования системы координат с правой на левую в этом бивекторе полярная составляющая остается неизменной, а аксиальная меняет знак.

Теперь рассмотрим объем, построенный на 4-х векторах, каждый из которых 4-мерный вектор пространства-времени, $a$, $b$, $c$ и $d$: $$ V= \left| \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\ c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ d_0 & d_1 & d_2 & d_3 \end{array} \right| $$ Этот определитель при его раскрытии состоит из 24-х слагаемых: $$ \begin{array}{c} a_0b_1c_2d_3-a_1b_0c_2d_3- \\ -a_0b_2c_1d_3+a_2b_0c_1d_3+ \\ +a_1b_2c_0d_3-a_2b_1c_0d_3- \\ -a_0b_1c_3d_2+a_1b_0c_3d_2+ \\ +a_0b_3c_1d_2-a_3b_0c_1d_2- \\ -a_1b_3c_0d_2+a_3b_1c_0d_2+ \\ +a_0b_2c_3d_1-a_2b_0c_3d_1- \\ -a_0b_3c_2d_1+a_3b_0c_2d_1+ \\ +a_2b_3c_0d_1-a_3b_2c_0d_1- \\ -a_1b_2c_3d_0+a_2b_1c_3d_0+ \\ +a_1b_3c_2d_0-a_3b_1c_2d_0- \\ -a_2b_3c_1d_0+a_3b_2c_1d_0 \end{array} $$ Эти слагаемые могут быть перегруппированы в 6 четверок: $$ \begin{array}{c} +a_0b_1c_2d_3-a_1b_0c_2d_3- \\ -a_0b_1c_3d_2+a_1b_0c_3d_2 = \\ =(a_0b_1-a_1b_0)(c_2d_3-c_3d_2) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} +a_0b_2c_3d_1-a_2b_0c_3d_1-\\ -a_0b_2c_1d_3++a_2b_0c_1d_3=\\ = (a_0b_2-a_2b_0)(c_3d_1-c_1d_3) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} +a_0b_3c_1d_2-a_3b_0c_1d_2-\\ -a_0b_3c_2d_1+a_3b_0c_2d_1=\\ = (a_0b_3-a_3b_0)(c_1d_2-c_2d_1) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} +a_1b_2c_0d_3-a_2b_1c_0d_3-\\ -a_1b_2c_3d_0+a_2b_1c_3d_0=\\ = (a_1b_2-a_2b_1)(c_0d_3-c_3d_0) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} +a_3b_1c_0d_2-a_1b_3c_0d_2-\\ -a_3b_1c_2d_0+a_1b_3c_2d_0=\\ = (a_3b_1-a_1b_3)(c_0d_2-c_2d_0) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} +a_2b_3c_0d_1-a_3b_2c_0d_1-\\ -a_2b_3c_1d_0+a_3b_2c_1d_0=\\ = (a_2b_3-a_3b_2)(c_0d_1-c_1d_0) \end{array} $$ Сравнив с векторными произведениями 4-мерных векторов, несложно видеть что 4-мерный объем есть попарные произведения компонент векторных произведений $[a,b]$ и $[c,d]$. Причем таким образом, что в результат попадают произведения компонент $Ii$ и $i$, $Ij$ и $j$, $Ik$ и $k$ попарно.

Векторное произведение 4-мерных векторов состоит лишь из полярной и аксиальной части, а алгебраическое сопряжение для такой величины есть просто смена знака у всех компонент или умножение числа на действительную величину -1.

Рассмотрим формирование псевдоскалярного произведения двух таких векторных произведений. Для его взятия нужно найти результат произведения $$ x\bar{y} $$ который относится к компонентам при мнимой единице $I$.

Если во взаимном отношении выделять действительную часть, то получим скалярное произведение. Если часть при единице $I$, то псевдоскалярное. И если векторную часть то получим векторное произведение.

Выберем компоненту при $Ii$ от первого аргумента и $i$ от второго: $$ -Ii(a_0b_1-a_1b_0)(-i(c_2d_3-c_3d_2)) $$ Здесь первый знак минуса от векторного произведения $a$ и $b$ и второй знак минус от сопряжения второго аргумента. Произведение мнимых единиц сокращается: $$ Iii=-I $$ Соотнеся с остальными попарными произведениями, получим что псевдоскалярное произведение векторных произведений $[a,b]$ и $[c,d]$ равно: $$ -IV $$ Все 6 произведений, образующих в совокупности объем, есть произведения либо полярного компонента от первого векторного произведения на аксиальный компонент от второго, либо аксиального компонента от первого на произведения на полярный компонент от второго. При смене ориентирования системы координат с правой на левую один из этих сомножителей в произведениях меняет знак. Следовательно, общий результат меняет знак также. То есть 4-мерный объем, также как и 3-мерный, есть псевдоскаляр.

Положим, что производится переход от одной системы отсчета к другой используя преобразование Лоренца: $$ X\rightarrow\psi X\bar{\psi}^* $$ здесь $\psi$ - условное обозначение полуоператора преобразования Лоренца, $\bar{\psi}^*$ - скалярно-алгебраическое сопряжение. При таком преобразовании векторное произведение преобразуется как композиционная величина: $$ x\bar{y}\rightarrow\psi x\bar{\psi}^*\psi^*\bar{y}\bar{\psi}= \psi x\bar{y}\bar{\psi} $$ Псевдоскалярное и скалярное произведения преобразуются, соответственно, также как композиционные величины. Но, поскольку для композиционных преобразований скаляры и псевдоскаляры есть инварианты в силу того, что скаляры и псевдоскаляры коммутативны с $\psi$: $$ \psi S\bar{\psi}=S\psi\bar{\psi}=S $$ то относительно преобразований Лоренца, применяемых к векторам, 4-мерный объем есть инвариант. Сам 4-мерный объем есть псевдоскаляр, но в паре с ним также идет и скаляр, как скалярное произведение векторных произведений $[a,b]$ и $[c,d]$. В это парное скалярное произведение входят также 6 попарных произведений полярных с полярными и аксиальных с аксиальными компонентами векторных произведений: $$ \begin{array}{c} -Ii(a_0b_1-a_1b_0)Ii(c_0d_1-c_1d_0)- \\ -Ij(a_0b_2-a_2b_0)Ij(c_0d_2-c_2d_0)- \\ -Ik(a_0b_3-a_3b_0)Ik(c_0d_3-c_3d_0) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} -k(a_1b_2-a_2b_1)k(c_1d_2-c_2d_1)- \\ -j(a_3b_1-a_1b_3)j(c_3d_1-c_1d_3)- \\ -i(a_2b_3-a_3b_2)i(c_2d_3-c_3d_2) \end{array} $$ Если векторное произведение $x$ и $y$ обозначить $z=z_p+z_a$, где $z_p$ - полярная часть, а $z_a$ - аксиальная, то скалярное произведение двух таких величин $u$ и $v$ равно: $$ (u,v)=-(u_p,v_p)+(u_a,v_a) $$ В случае когда величины $u$ и $v$ сонаправлены (для простоты пусть равны) получаем известное сочетание квадратов: $$ (u,u)=-(u_p,u_p)+(u_a,u_a) $$ Что в электродинамике, к примеру, содержится в Лоренц-инварианте квадрата напряженностей электромагнитного поля $$ {\bf E}^2-{\bf H}^2 $$ Если скалярное произведение двух векторных произведений характеризует меру их сонаправленности, то она должна характеризовать меру плоскостности фигуры, построенной на 4-х исходных 4-мерных векторах $a$, $b$, $c$ и $d$.

И, соответственно, псевдоскалярное произведение двух векторных произведений характеризует насколько оси направлены ортогонально друг другу. Соответственно, эта величина характерихует меру объемности 4-мерного объема, построенного на исходных 4-х мерных векторах.

Важным является тот факт, что и мера объемности и мера плоскостности, построенные на 4-мерных векторах, являются величинами, инвариантными относительно преобразований Лоренца, применяемых к самим векторам.

При рассмотрении интегрирования по 4-мерному объему используется элемент интегрирования, построенный на четырех дифференциалах $$ \begin{array}{cccc} cdt & dx & dy & dz \end{array} $$ Эта величина также есть частный случай псевдоскалярного произведения векторных произведений. Её можно представить как объем на векторах в виде определителя $$ \left| \begin{array}{cccc} cdt & 0 & 0 & 0 \\ 0 & dx & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dy & 0 \\ 0 & 0 & 0 & dz \end{array} \right| $$ Очевидно, что и для этого частного случая должно быть верным, что объем инвариантен относительно преобразований Лоренца, применяемых к векторам. Также можно отметить, что при таком заполнении нулями скалярное произведение векторных произведений равно нулю. То есть объем, построенный на векторах, которые все друг другу попарно ортогональны, максимален по абсолютной величине. И плоскостность такого элемента объема минимальна по абсолютной величине.