Об однородных в проективном

Столкнувшиеся с проективными преобразованиями, разумеется, замечали, что то, что мы видим как проективное преобразование, может выглядеть также как аффинное в пространстве на порядок выше. Но с этим пространством надо быть внимательным.

Ранее мы рассмотрели как перейти от проективного неоднородного, задаваемого дробями, к однородному, задаваемому матрице аффинного преобразования:

https://thedarkaugust.blogspot.com/2021/11/blog-post.html

А также получение обратного проективного преобразования:

https://thedarkaugust.blogspot.com/2021/07/blog-post.html

Теперь рассмотрим в чем состоит проблема перехода. Положим, что в 2-мерном пространстве есть проективное преобразование $$\left\{ \begin{array}{c} x'=\dfrac{c_{11}+c_{12}+c_{13}y}{1+c_{22}x+c_{32}y} \\ y'=\dfrac{c_{21}+c_{22}x+c_{23}y}{1+c_{22}x+c_{32}y} \end{array} \right.$$ И в отношении последовательного применения двух проективных преобразований и в отношении обратного к исходному мы приходим к коэффициентам $c_{ij}$ в виде матрицы. Причем таким способом, что композиции двух проективных преобразований соответствует произведение таких матриц, а для обратного нужно найти матрицу, обратную к соответствующей.

Создается полное впечатление, что как-бы есть еще одно пространство на единицу большей размерности.

Но с точки зрения физики нужно быть вынимательней. В математике можно даже встретить такие представления $c_{ij}$ в виде дроби под названием неоднородных координат и в виде матрицы под названием однородных. Положим, что значения координат есть значения в некотором пространстве и выражены в метрах. Это называется иметь размерность метры. В нашем случае коэффициенты $c_{1j}$ имеют разную размерность с $c_{3j}$, полагая что размерности координат $x$ и $y$ совпадают.

Вообще говоря, в силу дроби важно лишь отношение размерностей, но не они сами по себе, взятые в отдельности.

Как вариант, лишь один из возможных, можно описать размерности коэффициентов: $$[c_{1j}]=M^{n+1}$$ $$[c_{22}]=[c_{23}]=[c_{12}]=[c_{13}]=M$$ $$[c_{31}]=M^n$$ $$[c_{32}]=[c_{33}]=M^{n-1}$$ То есть если мы эти коэффициенты объединим в одну матрицу $3\times 3$, то с точки зрения физики получим противоречие, поскольку объединяются величины совершенно разных размерностей.

Кроме того, такая матрица с точки зрения физики имеет совершенно неопределенный статус, поскольку например $n$ может быть любым.

Поэтому понятие однородных координат в проективном преобразовании весьма условно и такого пространства нет. Хотя модель с переходом от дробей к матрицам и обратно выглядит весьма практичной.