Композиция проективных преобразований

Если к результату проективного преобразования мы применим второе, также проективное преобразование, то какое преобразование мы получим в результате? Попробуем разобраться.

Пусть первое преобразование задается коэффициентами $a_{ij}$: $$\left\{ \begin{array}{c} x'=\dfrac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+1} \\ y'=\dfrac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+1} \end{array} \right.$$ И пусть второе преобразование задается коэффициентами $b_{ij}$: $$\left\{ \begin{array}{c} x''=\dfrac{b_{11}x'+b_{12}y'+b_{13}}{b_{31}x'+b_{32}y'+1} \\ y''=\dfrac{b_{21}x'+b_{22}y'+b_{23}}{b_{31}x'+b_{32}y'+1} \end{array} \right.$$ Представим первое преобразование в виде дробей: $$\left\{ \begin{array}{c} x'=\dfrac{C_x}{C_z} \\ y'=\dfrac{C_y}{C_z} \end{array} \right.$$ $$\begin{array}{c} x''=\dfrac{b_{11}\dfrac{C_x}{C_z}+b_{12}\dfrac{C_y}{C_z}+b_{13}} {b_{31}\dfrac{C_x}{C_z}+b_{32}\dfrac{C_y}{C_z}+1} \\ y''=\dfrac{b_{21}\dfrac{C_x}{C_z}+b_{22}\dfrac{C_y}{C_z}+b_{23}} {b_{31}\dfrac{C_x}{C_z}+b_{32}\dfrac{C_y}{C_z}+1} \\ \end{array}$$ В числителях и знаменателях мы можем домножить на $C_z$, поскольку эта величина не бесконечность и не ноль: $$\left\{ \begin{array}{c} x''=\dfrac{b_{11}C_x+b_{12}C_y+b_{13}C_z}{b_{31}C_x+b_{32}C_y+C_z} \\ y''=\dfrac{b_{21}C_x+b_{22}C_y+b_{23}C_z}{b_{31}C_x+b_{32}C_y+C_z} \end{array} \right.$$ Поскольку величины $C_x$, $C_y$ и $C_z$ есть линейные формы от $x$ и $y$, то числители и знаменатели полученных дробей также есть линейные формы от $x$ и $y$. Следовательно, композиция двух проективных преобразований есть также проективное преобразование.

Теперь раскроем выражения для $x''$ и $y''$ полностью: $$\begin{array}{c} x''=(b_{11}a_{11}x+b_{11}a_{12}y+b_{11}a_{13}+ \\ +b_{12}a_{21}x+b_{12}a_{22}y+b_{12}a_{23}+ \\ +b_{13}a_{31}x+b_{13}a_{32}y+b_{13}) / C'_z \end{array}$$ $$\begin{array}{c} y''=(b_{21}a_{11}x+b_{21}a_{12}y+b_{21}a_{13}+ \\ +b_{22}a_{21}x+b_{22}a_{22}y+b_{22}a_{23}+ \\ +b_{23}a_{31}x+b_{23}a_{32}y+b_{23}) / C'_z \end{array}$$ $$\begin{array}{c} C'_z=b_{31}a_{11}x+b_{31}a_{12}y+b_{31}a_{13}+ \\ +b_{32}a_{21}x+b_{32}a_{22}y+b_{32}a_{23}+ \\ +a_{31}x+a_{32}y+1 \end{array}$$ Поскольку это преобразование является проективным, мы можем его представить в предположительном виде: $$\left\{ \begin{array}{c} x''=\dfrac{c_{11}x+c_{12}y+c_{13}}{c_{31}x+c_{32}y+1} \\ y''=\dfrac{c_{21}x+c_{22}y+c_{23}}{c_{31}x+c_{32}y+1} \end{array} \right.$$ Соответственно, коэффициенты $c_{ij}$ выражаются через $a_{ij}$ и $b_{ij}$: $$\begin{array}{c} c_{11}=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{13}a_{31} \\ c_{12}=b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}+b_{13}a_{32} \\ c_{13}=b_{11}a_{13}+b_{12}a_{23}+b_{13} \\ c_{21}=b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}+b_{23}a_{31} \\ c_{22}=b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}+b_{23}a_{32} \\ c_{23}=b_{21}a_{13}+b_{22}a_{23}+b_{23} \\ c_{31}=b_{31}a_{11}+b_{32}a_{21}+a_{31} \\ c_{32}=b_{31}a_{12}+b_{32}a_{22}+a_{32} \\ c_{33}=b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}+1 \\ \end{array}$$ Очевидно, что эта система уравнений задает произведение квадратных матриц: $$C=BA$$ $$C=\left( \begin{array}{ccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{array} \right)$$ $$B=\left( \begin{array}{ccc} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & 1 \end{array} \right)$$ $$A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 1 \end{array} \right)$$ Если исходные преобразования $A$ и $B$ были каноническими и имели единицу в правом нижнем элементе $$a_{33}=b_{33}=1$$ то композиция двух канонических проективных преобразований уже не является каноническим преобразованием. Для приведения к каноническому виду все коэффициенты $c_{ij}$ нужно поделить на $c_{33}$: $$c_{33}=b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}+1$$ Соответственно, каноническое представление композиции двух канонических проективных преобразований невозможно, если выполняется равенство: $$b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}=-1$$ Но, если оставаться в неканонических представлениях, в которых $$a_{33}\neq 1$$ $$b_{33}\neq 1$$ то композиция таких преобразований в неканонической форме также всегда существует как неканоническое проективное, достаточно найти произведение матриц из исходных коэффициентов.

Теперь сравним проективное преобразование и аффинное: $$\left\{ \begin{array}{c} x'=\dfrac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{1} \\ y'=\dfrac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{1} \end{array} \right.$$ В таком представлении аффинное преобразование выглядит как проективное и при этом каноническое, как если бы мы приравняли $$a_{31}=a_{32}=0$$ То есть, вообще говоря, аффинное преобразование есть частный случай проективного и аффинное преобразование всегда можно представить как проективное.

Если есть два аффинных преобразования, заданных коэффициентами $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно, то оба их произведения есть не только каноническое проективное преобразование, но также оно является и аффинным.

А именно, вопрос стоит в том, чему равно значение выражения $$b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}$$ для случая произведения $BA$ и чему равно $$a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}$$ для случая произведения $AB$.

Поскольку для аффинного преобразования (а по условию здесь оба аффинные) знаменатели равны единице, то $$a_{31}=a_{32}=b_{31}=b_{32}=0$$ И, соответственно, оба вышеприведенные выражения не равны -1. Следовательно, каноническое представление результата композиции преобразования существует.

Если традиционно аффинное преобразование представляется в виде сложения и умножения $$\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right)$$ то в дополненном варианте оно представимо в виде одного умножения: $$\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)$$ И здесь матрица умножаемая на дополненный вектор и есть матрица коэффициентов проективного преобразования, соответствующего исходному аффинному.

Соответственно, если матрица в нижней строке состоит не из нулей и единицы, то вместо дополненной единицы в результате окажется некая неконстантная величина: $$\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)$$ Но эта величина не есть величина того же рода и рода, что и координаты $x$ и $y$, поскольку справа всегда на её месте стоит единица (в дополненном варианте). Но, тем не менее, именно такие дополненные координаты и называют однородными координатами проективного преобразования.