Устойчивость волны

Положим, что есть некая функция, удовлетворяющая волновому уравнению. Из такого предположения следует, что для такой функции $$ f(w(x,t)) $$ существует волновой вектор, образованный частными производными $$ w_x\neq 0 $$ $$ w_t\neq 0 $$ Локально волновая функция в соответствующей точке движется со скоростью $$ \frac{1}{v^2}=\frac{w_x'^2}{w_t'^2} $$ С этой скоростью в точке вычисления частных производных движется волновой фронт.

Положим, что волнвая функция является протяженной достаточно, чтобы мы могли различать и вычислять как значения, так и частные производные по $x$ и $t$ в некоторых отстоящих друг от друга точках.

Для того, чтобы в некоторой области волновая функция сохраняла форму, необходимо чтобы в этой области волновые фронты двигались одинаково. Из этого условия следует принцип стационарности волны:

Волновая функция стационарна в некоторой области, если в этой области частные производные $w_{xx}''$ или $w_{tt}''$ равны нулю.

Соответственно, условие $$ w_{xx}''=0 $$ означает стационарность волны в пространстве и условие $$ w_{tt}'=0 $$ означает стационарность волны во времени.

Очевидно, что для того чтобы сделать волну нестационарной, нужно создать ненулевой градиент волнового вектора, который есть следствие характеристик среды прохождения волны. В этом случае можно как получить формирование ударной волны, так и разломать волну. В первом случае скорости фрагментов волны таковы чтобы её части сошлись в заданной точке и во втором случае наоборот, чтобы разошлись.

Оглавление: Волновое уравнение