вторник, 2 мая 2023 г.

Устойчивость волны

Положим, что есть некая функция, удовлетворяющая волновому уравнению. Из такого предположения следует, что для такой функции f(w(x,t))f(w(x,t)) существует волновой вектор, образованный частными производными wx0wx0 wt0wt0 Локально волновая функция в соответствующей точке движется со скоростью 1v2=w2xw2t1v2=w2xw2t С этой скоростью в точке вычисления частных производных движется волновой фронт.

Положим, что волнвая функция является протяженной достаточно, чтобы мы могли различать и вычислять как значения, так и частные производные по xx и tt в некоторых отстоящих друг от друга точках.

Для того, чтобы в некоторой области волновая функция сохраняла форму, необходимо чтобы в этой области волновые фронты двигались одинаково. Из этого условия следует принцип стационарности волны:
Волновая функция стационарна в некоторой области, если в этой области частные производные wxxw′′xx или wttw′′tt равны нулю.
Соответственно, условие wxx=0w′′xx=0 означает стационарность волны в пространстве и условие wtt=0wtt=0 означает стационарность волны во времени.

Очевидно, что для того чтобы сделать волну нестационарной, нужно создать ненулевой градиент волнового вектора, который есть следствие характеристик среды прохождения волны. В этом случае можно как получить формирование ударной волны, так и разломать волну. В первом случае скорости фрагментов волны таковы чтобы её части сошлись в заданной точке и во втором случае наоборот, чтобы разошлись.

Оглавление: Волновое уравнение

Комментариев нет:

Отправить комментарий