Преобразование объемаВ принципе, мы можем переходить из одной системы отсчета в другую многократно. Если при каждом переходе мы будем наблюдать замедление процессов, то что получится? Попробуем разобраться.
Для сокращения записей не будем рассмтривать что происходит в направлениях перпендикулярных к направлению относительного движения. Поскольку там ничего не происходит. И направим движение по оси $X$.
Преобразование Лоренца в таком усеченном 2-мерном варианте выглядит как: $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Преобразование движения в обратную сторону, соответственно, имеет вид: $$ \left( \begin{array}{cc} \gamma & \dfrac{v}{c}\gamma \\ \dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) $$ И последовательное применение при переходе от одной системы отсчета к другой дает в результате: $$ \left( \begin{array}{cc} \gamma & \dfrac{v}{c}\gamma \\ \dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right)= $$ $$ =\left( \begin{array}{cc} \gamma^2-\dfrac{v^2}{c^2}\gamma^2 & -\dfrac{v}{c}\gamma^2+\dfrac{v}{c}\gamma^2 \\ -\dfrac{v}{c}\gamma^2+\dfrac{v}{c}\gamma^2 & -\dfrac{v^2}{c^2}\gamma^2 + \gamma^2 \end{array} \right) $$ Здесь внедиагональные члены равны 0, а диагональные $$ \gamma^2(1-\frac{v^2}{c^2})=\frac{1-v^2/c^2}{1-v^2/c^2}=1 $$ Соответственно, при переходе от первой системы отсчета ко второй и обратно получаем единичное преобразование, то есть никакие времена и расстояния от этого не изменяются.
В трюке с описанием изменения масштабов времени и расстояний берется в одном случае вариант $x=0$, а во втором $t=0$: $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ 0 \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ x \end{array} \right) $$ В результате чего делается вывод что это эквивалентно вариантам: $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ $$ \left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right) $$ Разумеется, это не эквивалентная замена, и такое изменение правого сомножителя вовсе не изменяет левый сомножитель. Если бы так происходило, то преобразование Лоренца можно было бы приводить к матрице масштабирования $$ \left( \begin{array}{cc} \gamma & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right) $$ с очевидно неверным результатом. Нюанс, собственно говоря, в том, что при преобразованиях Лоренца к результирующему времени примешивается немного пространства, и одновременно (а это очень важно и неправильно будет игнорировать) к пространству примешивается немного времени.
Собственно говоря, мошенничество в манипулировании и состоит в данном случае в разрыве рассмотрения изменения времени от изменения пространственной координаты и наоборот.
Преобразование Лоренца сохраняет неизменным квадрат интервала специальной теории относительности: $$ c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 $$ И отброить у результирующего вектора какую-либо его составляющую это все равно что говорить об изменении длины отрезка при его 3-мерном вращении на том основании, что одна из его проекций изменилась. Как если бы вместо оператора вращения $$ \left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right) $$ использовался лишь его фрагмент $$ \left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & 0 \\ 0 & \cos\alpha \end{array} \right) $$ Нет, длина отрезка после вращения все та же.
Комментариев нет:
Отправить комментарий