О сокращении и замедлении в СТО

В работах по специальной теории относительности часто упоминается, что если есть две системы отсчета, то процессы, происходящие в одной из них, выглядят замедленными в другой. А также изменяются длины. Частично это было замечено уже в изменении 3-мерного объема в исследовании

Преобразование объема

В принципе, мы можем переходить из одной системы отсчета в другую многократно. Если при каждом переходе мы будем наблюдать замедление процессов, то что получится? Попробуем разобраться.

Для сокращения записей не будем рассмтривать что происходит в направлениях перпендикулярных к направлению относительного движения. Поскольку там ничего не происходит. И направим движение по оси $X$.

Преобразование Лоренца в таком усеченном 2-мерном варианте выглядит как: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right)$$ Преобразование движения в обратную сторону, соответственно, имеет вид: $$\left( \begin{array}{cc} \gamma & \dfrac{v}{c}\gamma \\ \dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right)$$ И последовательное применение при переходе от одной системы отсчета к другой дает в результате: $$\left( \begin{array}{cc} \gamma & \dfrac{v}{c}\gamma \\ \dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right)=$$ $$=\left( \begin{array}{cc} \gamma^2-\dfrac{v^2}{c^2}\gamma^2 & -\dfrac{v}{c}\gamma^2+\dfrac{v}{c}\gamma^2 \\ -\dfrac{v}{c}\gamma^2+\dfrac{v}{c}\gamma^2 & -\dfrac{v^2}{c^2}\gamma^2 + \gamma^2 \end{array} \right)$$ Здесь внедиагональные члены равны 0, а диагональные $$\gamma^2(1-\frac{v^2}{c^2})=\frac{1-v^2/c^2}{1-v^2/c^2}=1$$ Соответственно, при переходе от первой системы отсчета ко второй и обратно получаем единичное преобразование, то есть никакие времена и расстояния от этого не изменяются.

В трюке с описанием изменения масштабов времени и расстояний берется в одном случае вариант $x=0$, а во втором $t=0$: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ 0 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & -\dfrac{v}{c}\gamma \\ -\dfrac{v}{c}\gamma & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ x \end{array} \right)$$ В результате чего делается вывод что это эквивалентно вариантам: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \gamma & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \end{array} \right)$$ Разумеется, это не эквивалентная замена, и такое изменение правого сомножителя вовсе не изменяет левый сомножитель. Если бы так происходило, то преобразование Лоренца можно было бы приводить к матрице масштабирования $$\left( \begin{array}{cc} \gamma & 0 \\ 0 & \gamma \end{array} \right)$$ с очевидно неверным результатом. Нюанс, собственно говоря, в том, что при преобразованиях Лоренца к результирующему времени примешивается немного пространства, и одновременно (а это очень важно и неправильно будет игнорировать) к пространству примешивается немного времени.

Собственно говоря, мошенничество в манипулировании и состоит в данном случае в разрыве рассмотрения изменения времени от изменения пространственной координаты и наоборот.

Преобразование Лоренца сохраняет неизменным квадрат интервала специальной теории относительности: $$c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$ И отброить у результирующего вектора какую-либо его составляющую это все равно что говорить об изменении длины отрезка при его 3-мерном вращении на том основании, что одна из его проекций изменилась. Как если бы вместо оператора вращения $$\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right)$$ использовался лишь его фрагмент $$\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & 0 \\ 0 & \cos\alpha \end{array} \right)$$ Нет, длина отрезка после вращения все та же.