Преобразование объема

Как при преобразованиях Галилея и при преобразованиях Лоренца преобразуется объем? Попробуем разобраться.

В массе формул при интегрировании по объему пишут $$\int(\ldots)dxdydz$$ для интегрирования по 3 мерному объему и, соответственно, $$\int(\ldots)cdtdxdydz$$ при интегрировании по 4-мерному.

Можно ли взять и подставить вместо измененных при проведенных преобразованиях элементов приращений их новые значения? Теоретически да, если изменились лишь масштабные коэффициенты и нет во всех остальных случаях.

Собственно, проблема в том, что при произвольно выбранном преобразовании в общем случае между осями изменяется угол, поскольку в общем случае приращение по одной оси может зависеть от приращений по другим: $$dx'=adx+bdy+cdz$$

Это как вариант.

Для того, чтобы сопоставлять малое приращение объема как элемента интегрирования с соответствующим малым приращением после преобразования, нужно использовать определитель якобиана: $$dv'=\left|\frac{\partial(x',y',x')}{\partial(x,y,z)}\right|dv$$ и, если есть преобразование в виде матрицы $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ с коэффициентами, не зависящими от координат, то преобразование объемов задается определителем матрицы $A$.

Рассмотрим преобразование Лоренца, задаваемое канонически как движение вдоль оси $x$: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \dfrac{v}{c}\gamma & 0 & 0 \\ \dfrac{v}{c}\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ здесь $v$ - скорость движения, $c$ - скорость света, $\gamma$ - Лоренц-фактор: $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Определитель матрицы такого преобразования равен: $$\det A =\gamma^2-\frac{v^2}{c^2}\gamma^2= \frac{1-v^2/c^2}{1-v^2/c^2}=1$$ Соответственно, при преобразованиях Лоренца 4-мерный объем не меняется.

Если при тех же преобразованиях будем рассматривать лишь 3-мерный объем, то нужен определитель матрицы $$A=\left( \begin{array}{ccc} \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ Соответственно, его определитель равен $$\det A = \gamma$$ И поэтому при преобразованиях Лоренца, вообще говоря, 3-мерный объем меняется.

Рассмотрим преобразование Галилея, приведенное к тому же координатному пространству: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \dfrac{v}{c} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ Для 4-мерного варианта определитель матрицы преобразования равен: $$\det A = 1$$ Соответственно, при преобразованиях Галилея для 4-мерного объема также как и для преобразования Лоренца объем инвариантен.

Но, несложно видеть, что для 3-мерного объема объем также инвариантен в отличине от преобразования Лоренца.

Для относительной полноты картины рассмотрим также преобразование вращения в плоскости: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ Независимо от угла $\alpha$ определитель такой матрицы равен 1. Следовательно, при преобразованиях 3-мерных вращений и 3-мерный и 4-мерный объемы инвариантны.

В случае непрерывного вращения, когда угол поворота $\alpha=\omega t$ зависит от времени, получаем: $$\left( \begin{array}{c} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\omega t & -\sin\omega t & 0 \\ 0 & \sin\omega t & \cos\omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)$$ При построении дифференциалов получаем: $$\left( \begin{array}{c} cdt' \\ dx' \\ dy' \\ dz' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & \cos\omega t & -\sin\omega t & 0 \\ b & \sin\omega t & \cos\omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} cdt \\ dx \\ dy \\ dz \end{array} \right)$$ Здесь $a$ и $b$ - функции от $\omega$, $t$, $x$, $y$. Но определитель такой матрицы по-прежнему равен единице. Вот если бы угол вращения зависел от пространственных координат, в плоскости которых выполняется вращение, тогда, возможно, в зависимости от вида функций, объем может меняться.