О представлении дельта чисел

В рассмотренной ранее теме "Аналитическое представление функции Хэвисайда" были рассмотрены дельта числа. Зададимся вопросом - можно ли их как-то выразить? Попробуем разобраться.

Сначала возьмем число 1. И поделим его на 3. Если представлять в виде дроби, то получим 1/3. Но если попробовать его вычислить, то получим $$ 0,333\ldots $$ Такое число называют периодической дробью и повторяющуюся последовательность знаков в представлении по выбранному основанию (в приведенном случае основание позиционного представления 10) обозначают в круглых скобках: $$ 0,(3) $$ На следующем шаге умножим это число на 3. Хотя если 1/3 умножить на 3, то мы должны получить 1, в случае использования периодической дроби мы каждый разряд умножим на 3. При умножении нуля в самом левом разряде получим ноль: $$ 0,\ldots $$ Но во всех остальных разрядах мы получим 9: $$ 0,(3)\cdot 3 = 0,(9) $$ Это число и представляет интерес - насколько оно похоже на единицу? Если точнее, то насколько оно похоже на исходную единицу?

Вспомним свойство дельта числа: между ним и его исходным числом нельзя вписать ни рациональное ни иррациональное число.

Положим, что мы выбрали сколько-то периодов периодической дроби 0,(9) , например пусть 5: $$ 0,99999 $$ и попробуем вписать число больше чем это и меньше чем 1, например: $$ 0,999998 $$ или даже $$ 0,999999 $$ Исходная периодическая дробь 0,(9) все равно содержит больше разрядов чем произвольное конечное выбранное число разрядов. Поэтому какое бы число разрядов мы ни выбрали, периодическая дробь все равно его превысит.

Таким образом, мы не сможем вписать никакое число между 0,(9) и единицей. Но одновременно при этом число 0,(9) меньше чем 1.

То есть оно имеет свойства дельта числа для единицы: $$ \delta(1)=0,(9) $$ В использованных представлениях участвовало основание представления 10. Просто потому, что мы им чаще всего пользуемся. В действительности может быть использовано любое основание и в периоде дроби значение на 1 меньше чем основание.

Например, если основание 3, то дельта числом единицы будет 0,(2), если основание 6, то дельта числом будет 0,(5) и так далее.

И, поскольку все они есть дельта числа единицы, то они равны. Иначе говоря, при переводе 0,(5) по основанию 6 в представление по основанию 10 мы получим 0,(9).

Чтобы получить дельта число для произвольного числа, нужно дельта число единицы уменьшить на 1 чтобы получить дельта число нуля и прибавить искомое число: $$ \delta(x)=0,(9)-1+x $$ Разумеется, нужно помнить что речь идет о представлении периодической дроби 0,(9) по основанию 10.

Разность дельта числа и его числа $$ \delta(x)-x=0,(9)-1+x-x=0,(9)-1+0=\delta(0) $$ есть дельта число нуля.

Дельта числа, оглавление