Аналитическое представление функции Хэвисайда

Функция Хэвисайда определена как ступенчатая функция, равная 1 при аргументе больше 0 и 0 при аргументе меньше 0. В самой точке 0 функцию Хэвисайда определяют с вариациями, в зависимости от того насколько это подходит мнению автора, но чаще всего как значение 1.

Можно ли определить эту функцию аналитически, выразив через элементарные функции? Попробуем разобраться.

Рассмотрим линейную функцию, но для общности смещенную на 1: $$ f_1(x)=x-1 $$

Далее возведём её в квадрат: $$ f_2(x)=f_1^2(x)=x^2-2x+1 $$

Далее возьмем корень квадратный: $$ f_3=\sqrt{f_2(x)}=\sqrt{x^2-2x+1} $$

У этого графика обе ветви, и убывающая, и возрастающая, строго прямые.

Следовательно, производная такой функции будет для одной ветви отрицательная константа, а для другой положительная константа. $$ f_4(x)=\frac{d}{dx}f_3(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+1}} $$

В самой точке $x=1$ функция испытывает излом и для её вычисления необходимо раскрыть неопределенность вида $0/0$. Для этого используем правило Лопиталя и возьмем производные числителя и знаменателя в точке $x=1$ $$ \frac{d}{dx}(x-1)=1 $$ $$ \frac{d}{dx}\sqrt{x^2-2x+1}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+1}} $$ Для получения значения второй производной мы должны найти то же самое что и на предыдущем шаге, поэтому мы получим бесконечную дробь $$ z=\frac{1}{1/1/1/\ldots} $$ Поскольку дробь бесконечная, то в знаменателе стоит она сама: $$ z=\frac{1}{z} $$ Решением такого уравнения являются два значения: $$ z=\pm 1 $$ Поскольку в бесконечной дроби, представляющей $z$, не содержатся отрицательные числа, и дробь состоит только из цепочки положительных единиц, то значение $z$ не может быть отрицательным. Следовательно, мы должны отбросить решение $z=-1$. Следовательно, значение $z$ равно 1.

Таким образом, приведенное представление функции Хэвисайда $$ \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+1}} $$ в точке разрыва $x=1$ равно 1.

Функцию Хэвисайда используют в нормированной форме: $$ \Theta(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{array}\right. $$ При нормировании к этой форме получим представление: $$ \Theta(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2}} $$ Ступенчатый разрыв функции в точке $x=0$ таков, что при значении $x<0$, но сколь угодно близко к 0, функция равна 0, но в самой точке $x=0$ и далее $x>0$ функция равна 1.

Таким образом, на нижней ветви функции точка $x=0$ является выколотой и значение в точке $x=0$ принадлежит верхней ветви $\Theta(x)=1$

В паре с функцией Хэвисайда обычно рассматривают также и функцию Дирака, или $\delta$-функцию.

Функцию Хэвисайда рассматривают как первообразную функции Дирака и наоборот, функцию Дирака как производную функции Хэвисайда.

Мы можем взять формальную производную: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2}}\right)=0 $$ То есть получим, что функция Дирака везде строго равна 0. В действительности функция Хэвисайда в точке $x=0$ испытывает разрыв и именно в этой точке она не дифференцируема.

Поэтому мы не можем взять полноценную производную функции Хэвисайда, и должны оперировать $\delta$-функцией как обобщенной функцией.

Поскольку функция Хэвисайда в точке $x=0$ равна 1, то $\delta$-функция содержит бесконечность не в точке $x=0$, а слева от нее. Расстояние от такого всплеска до точки $x=0$ никакого нет, топологически такой всплеск не имеет протяженности по оси $x$, и ни на сколько не отстоит от точки $x=0$.

Это обстоятельство имеет следствием то, что интеграл $$ \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0) $$ при рассмотрении промежуточной точки $x_0$ состоит из двух интегралов: $$ \begin{array}{cc} a) & \int\limits_{-\infty}^{x_0}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0) \end{array} $$ $$ \begin{array}{cc} b) & \int\limits_{x_0}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=0 \end{array} $$ Двигаясь по оси $x$ слева направо, мы проходим через всплеск $\delta$-функции в момент перехода к значению $x_0$. Но, поскольку в точке излома $x_0$ функция Хэвисайда уже имеет значение 1, начиная с этой точки и далее вправо она константа, поэтому интеграл $b)$ равен 0. В случае же интеграла $a)$ в него входит переход через разрыв.

Чтобы определить, где находится всплеск $\delta$-функции, нужно собрать в одно определение ранее найденные факты. Первый - что эта $\delta$-точка находится слева от заданной точки $x_0$. То есть у такой $\delta$-точки есть отношение порядка - она слева или справа. Второй - что между $\delta$-точкой и заданной точкой нет никакого расстояния. То есть на числовой оси она расположена относительно точки $x_0$ так, что между $\delta$-точкой и $x_0$ нельзя поставить ни рациальное, ни иррациональное число. Расстояние между $\delta$-точкой и $x_0$ равно нулю, но они не совпадают и у $\delta$-точек должны отличаться положения - слева или справа.

По аналогии с $\delta$-функцией для точки $x_0$ $$ \delta(x_0) $$ Можем обозначить также $\delta$-точки: $$ \delta^-(x_0) $$ $$ \delta^+(x_0) $$ Поскольку $\delta$-точки не имеют расстояния по оси $x$ относительно своей точки, но при этом не совпадают с ней, их координаты не могут быть выражены ни рациональными, ни иррациональными числами.

С некоторым приближением они похожи на пределы слева и справа, но с оговоркой что в действительтности координаты $\delta$-точек не могут быть выражены ни рациональными, ни иррациональными числами.

Дельта числа, оглавление