Арифметика дельта чисел, или чему равно 0,(9)

В предыдущей теме "О представлении дельта чисел" была затронута одна из операций с такими числами. Как выглядит их арифметика полностью? Попробуем разобраться.

Сложение дельта чисел дает дельта число: $$\delta(a)+\delta(b)=\delta(a+b)$$ Сложение числа и дельта числа дает дельта число: $$a+\delta(b)=\delta(a+b)$$ Уже в этом проявляется их отличие от рациональных чисел - операция арифметики с дельта числами необратима. Или, если мы имеем выражение в виде $$\delta(a+b)$$ то мы не сможем определить, из какого варианта оно было получено, из $$\delta(a)+\delta(b)$$ или из $$a+\delta(b)$$ Умножение дельта чисел дает дельта число: $$\delta(a)\delta(b)=\delta(ab)$$ Умножение числа на дельта число дает дельта число: $$a\delta(b)=\delta(ab)$$ То есть умножение тоже необратимо.

Но мы можем утверждать, что $$\delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)=a+\delta(b)=\delta(a)+b$$ и что $$\delta\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\delta(a)}{\delta(b)}= \frac{\delta(a)}{b}$$ Хотя полученные знаменатели не равны, сами дроби равны.

Из арифметических свойств вытекает, что если $$a=b$$ то $$\delta(a)=\delta(b)$$ Вычтем из обеих частей $\delta(b)$: $$\delta(a)-\delta(b)=\delta(0)$$ То есть в отличие от рациональных и иррациональных чисел разность равных дельта чисел не равна рациональному нулю, это дельта число нуля $\delta(0)$.

Поскольку $$\delta\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\delta(a)}{\delta(b)}= \frac{\delta(a)}{b}$$ то делить на $\delta(0)$, как и на 0, нельзя.

В приведенных правилах не указывалось, о каком дельта числе идет речь, о левом $\delta^-(x)$ или о правом $\delta^+(x)$. Считается, что правила верны если используются дельта числа одинаковой стороны.

При умножении на отрицательное число дельта число меняет сторону: $$-1\cdot\delta^+(x)=\delta^-(-x)$$ $$-1\cdot\delta^-(x)=\delta^+(-x)$$ В силу того, что $$-0=0$$ Для дельта чисел нуля разных сторон верно: $$\delta^+(0)=-\delta^-(0)$$ Откуда следует, что при сложении дельта чисел разных сторон: $$\delta^+(x)+\delta^-(x)=2x+\delta^+(0)+\delta^-(0)$$ В некотором смысле, если мы сложили число с одной стороной и число с другой стороной, то получили число с обеими сторонами.

Если к обеим частям начального уравнения $$\delta^+(x)=\delta^+(x)$$ прибавим $-\delta^+(x)$, то получим $$\delta^+(x)-\delta^+(x)=\delta^+(x-x)$$ следовательно, $$\delta^+(x)+\delta^-(-x)=\delta^+(0)$$ Используя арифметику дельта чисел, мы можем рассмотреть что же такое число 0,(9) и почему оно не равно 1.

В качестве источника цитирования традиционного подхода к вопросу 0,(9) остановимся на Википедии. В Википедии проблема 0,(9) начинается с рассмотрения величины 1/3 и утверждается, что $$1/3=0,(3)$$ Да, в представлении по основанию 10 так вычисляется 1/3 "в приближенном виде". И слово "приближенный" здесь ключевое, поскольку эти значения не равны. А они не равны поскольку слева стоит рациональное число, а справа дельта число $$\delta(1)/3$$ Но, увы, $$\frac{\delta(a)}{b}\ne\frac{a}{b}$$ Дельта числом величина 1/3 вычисляется лишь потому, что выбрано не слишком подходящее основание. Если выбрать более подходящее, скажем 3, то получим $$\frac{1}{3}=0,1_3$$ или, если выбрать основание 6, то $$\frac{1}{3}=0,2_6$$ или по основанию 9: $$\frac{1}{3}=0,3_9$$ И тут нет никаких бесконечных сумм. Но если выбрать мало подходящее основание 10, то $$\frac{1}{3}\approx 0,(3)_{10}$$ Далее в изложении по Википедии берется произведение $$0,(3)_{10}3=0,(9)_{10}$$ Здесь все правильно. И слева, и справа стоят дельта числа. Но далее делается вывод, что значения 1 и 0,(9) на этом основании должны быть равны. Здесь опять неверно - рациональная единица не равна дельта числу единицы.

В качестве доказательства равенства приводятся различные способы, сводящиеся либо к арифметике, либо к пределам, как в случае доказательства Эйлера. Но при использовании пределов ошибка состоит в отбрасывании слова "предел". Увы, но если предел ряда равен какому-то числу, то сам ряд этому числу не равен. Равен лишь его предел: $$0,(9)=\lim_{n\rightarrow\infty}0,\underbrace{99\ldots 9}_{n}=1$$ Здесь второе равенство верное, но первое нет: $$0,\underbrace{99\ldots 9}_{\infty}\ne \lim_{n\rightarrow\infty}0,\underbrace{99\ldots 9}_{n}$$ Если с доказательством через предел проблема видна сразу, то на арифметическое доказательство посмотрим пристальнее.

Оно основано на том, что если число $0,999\ldots$ умножить на 10, то получим $$a) 0,999\ldots\cdot 10=9,999\ldots$$ И, если из него вычесть исходное, то получим 9: $$b) 9,999\ldots-0,999\ldots=9$$ Из чего делается вывод, что уравнение эквивалентно $$c)10x-x=9$$ и, значит, $$d) x=\frac{9}{10-1}=1$$ И, следовательно, $$0,(9)=1$$ Теперь рассмотрим где здесь ошибки. В уравнении a) дельта число единицы умножается на 10 и получаем: $$\delta(1)\cdot 10=\delta(10)=9,(9)$$ Здесь все верно.

В уравнении b) из одного дельта числа вычитается другое и ошибка в том, что результат считается рациональным числом. В действительности так: $$9,(9)-0,(9)=\delta(10)-\delta(1)=\delta(9)=8,(9)$$ Соответственно, в уравнении d) в правой части делится не рациональное число на рациональное, а дельта число на рациональное. В действительности так: $$x=\frac{\delta(9)}{9}$$ И в результате мы получаем не рациональную единицу, а снова дельта число единицы. И оно, увы, не равно единице. Если на простом языке, то число со стороной не равно числу без стороны.

Также можно сделать вывод, что дельта число единицы $\delta^-(1)$ может быть представлено позиционно по разным основаниям $n$ через $n-1$ в периоде и не зависит от значения $n$: $$\delta^-(1)=0,(n-1)_n=0,(1)_2=0,(3)_4=0,(7)_8=0,(9)_{10}=\ldots$$ Дельта числа, оглавление