В предыдущей теме "О представлении дельта чисел" была затронута одна из операций с такими числами. Как выглядит их арифметика полностью? Попробуем разобраться.
Сложение дельта чисел дает дельта число:
$$
\delta(a)+\delta(b)=\delta(a+b)
$$
Сложение числа и дельта числа дает дельта число:
$$
a+\delta(b)=\delta(a+b)
$$
Уже в этом проявляется их отличие от рациональных чисел - операция арифметики с дельта числами необратима. Или, если мы имеем выражение в виде
$$
\delta(a+b)
$$
то мы не сможем определить, из какого варианта оно было получено, из
$$
\delta(a)+\delta(b)
$$
или из
$$
a+\delta(b)
$$
Умножение дельта чисел дает дельта число:
$$
\delta(a)\delta(b)=\delta(ab)
$$
Умножение числа на дельта число дает дельта число:
$$
a\delta(b)=\delta(ab)
$$
То есть умножение тоже необратимо.
Но мы можем утверждать, что
$$
\delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)=a+\delta(b)=\delta(a)+b
$$
и что
$$
\delta\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\delta(a)}{\delta(b)}=
\frac{\delta(a)}{b}
$$
Хотя полученные знаменатели не равны, сами дроби равны.
Из арифметических свойств вытекает, что если
$$
a=b
$$
то
$$
\delta(a)=\delta(b)
$$
Вычтем из обеих частей $\delta(b)$:
$$
\delta(a)-\delta(b)=\delta(0)
$$
То есть в отличие от рациональных и иррациональных чисел разность равных дельта чисел не равна рациональному нулю, это дельта число нуля $\delta(0)$.
Поскольку
$$
\delta\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\delta(a)}{\delta(b)}=
\frac{\delta(a)}{b}
$$
то делить на $\delta(0)$, как и на 0, нельзя.
В приведенных правилах не указывалось, о каком дельта числе идет речь, о левом $\delta^-(x)$ или о правом $\delta^+(x)$. Считается, что правила верны если используются дельта числа одинаковой стороны.
При умножении на отрицательное число дельта число меняет сторону:
$$
-1\cdot\delta^+(x)=\delta^-(-x)
$$
$$
-1\cdot\delta^-(x)=\delta^+(-x)
$$
В силу того, что
$$
-0=0
$$
Для дельта чисел нуля разных сторон верно:
$$
\delta^+(0)=-\delta^-(0)
$$
Откуда следует, что при сложении дельта чисел разных сторон:
$$
\delta^+(x)+\delta^-(x)=2x+\delta^+(0)+\delta^-(0)
$$
В некотором смысле, если мы сложили число с одной стороной и число с другой стороной, то получили число с обеими сторонами.
Если к обеим частям начального уравнения
$$
\delta^+(x)=\delta^+(x)
$$
прибавим $-\delta^+(x)$, то получим
$$
\delta^+(x)-\delta^+(x)=\delta^+(x-x)
$$
следовательно,
$$
\delta^+(x)+\delta^-(-x)=\delta^+(0)
$$
Используя арифметику дельта чисел, мы можем рассмотреть что же такое число 0,(9) и почему оно не равно 1.
В качестве источника цитирования традиционного подхода к вопросу 0,(9) остановимся на Википедии. В Википедии проблема 0,(9) начинается с рассмотрения величины 1/3 и утверждается, что
$$
1/3=0,(3)
$$
Да, в представлении по основанию 10 так вычисляется 1/3 "в приближенном виде". И слово "приближенный" здесь ключевое, поскольку эти значения не равны. А они не равны поскольку слева стоит рациональное число, а справа дельта число
$$
\delta(1)/3
$$
Но, увы,
$$
\frac{\delta(a)}{b}\ne\frac{a}{b}
$$
Дельта числом величина 1/3 вычисляется лишь потому, что выбрано не слишком подходящее основание. Если выбрать более подходящее, скажем 3, то получим
$$
\frac{1}{3}=0,1_3
$$
или, если выбрать основание 6, то
$$
\frac{1}{3}=0,2_6
$$
или по основанию 9:
$$
\frac{1}{3}=0,3_9
$$
И тут нет никаких бесконечных сумм. Но если выбрать мало подходящее основание 10, то
$$
\frac{1}{3}\approx 0,(3)_{10}
$$
Далее в изложении по Википедии берется произведение
$$
0,(3)_{10}3=0,(9)_{10}
$$
Здесь все правильно. И слева, и справа стоят дельта числа. Но далее делается вывод, что значения 1 и 0,(9) на этом основании должны быть равны. Здесь опять неверно - рациональная единица не равна дельта числу единицы.
В качестве доказательства равенства приводятся различные способы, сводящиеся либо к арифметике, либо к пределам, как в случае доказательства Эйлера. Но при использовании пределов ошибка состоит в отбрасывании слова "предел". Увы, но если предел ряда равен какому-то числу, то сам ряд этому числу не равен. Равен лишь его предел:
$$
0,(9)=\lim_{n\rightarrow\infty}0,\underbrace{99\ldots 9}_{n}=1
$$
Здесь второе равенство верное, но первое нет:
$$
0,\underbrace{99\ldots 9}_{\infty}\ne
\lim_{n\rightarrow\infty}0,\underbrace{99\ldots 9}_{n}
$$
Если с доказательством через предел проблема видна сразу, то на арифметическое доказательство посмотрим пристальнее.
Оно основано на том, что если число $0,999\ldots$ умножить на 10, то получим
$$
a) 0,999\ldots\cdot 10=9,999\ldots
$$
И, если из него вычесть исходное, то получим 9:
$$
b) 9,999\ldots-0,999\ldots=9
$$
Из чего делается вывод, что уравнение эквивалентно
$$
c)10x-x=9
$$
и, значит,
$$
d) x=\frac{9}{10-1}=1
$$
И, следовательно,
$$
0,(9)=1
$$
Теперь рассмотрим где здесь ошибки. В уравнении a) дельта число единицы умножается на 10 и получаем:
$$
\delta(1)\cdot 10=\delta(10)=9,(9)
$$
Здесь все верно.
В уравнении b) из одного дельта числа вычитается другое и ошибка в том, что результат считается рациональным числом. В действительности так:
$$
9,(9)-0,(9)=\delta(10)-\delta(1)=\delta(9)=8,(9)
$$
Соответственно, в уравнении d) в правой части делится не рациональное число на рациональное, а дельта число на рациональное. В действительности так:
$$
x=\frac{\delta(9)}{9}
$$
И в результате мы получаем не рациональную единицу, а снова дельта число единицы. И оно, увы, не равно единице. Если на простом языке, то число со стороной не равно числу без стороны.
Также можно сделать вывод, что дельта число единицы $\delta^-(1)$ может быть представлено позиционно по разным основаниям $n$ через $n-1$ в периоде и не зависит от значения $n$:
$$
\delta^-(1)=0,(n-1)_n=0,(1)_2=0,(3)_4=0,(7)_8=0,(9)_{10}=\ldots
$$
Дельта числа, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий