В специальной теории относительности оперируют понятием 4-мерного вектора энергии-импульса. В классической механике это отдельные величины. В СТО оперируют преобразованиями Лоренца, в классической механике - преобразованиями Галилея. Существует ли такая точка зрения на импульс, которая подходит обеим механикам? Попробуем разобраться.
В специальной теории относительности и в классической механике скорости относительного движения есть преобразования между соответствующими системами координат. Положив, что в начальной системе отсчета тело неподвижно и имеет скорости по пространственным осям нулевые а по временной единичную, имеем:
p=p0+Iip1+Ijp2+Ikp3
pv=Iip1+Ijp2+Ikp3=0
p=p0
p0=mc2
При движении, выполняемом путем преобразования Лоренца, мы имеем импульс:
p0→p01√1−v2/c2
pv→p0v/c√1−v2/c2
здесь под корнями зашифрована просто формула гиперболического поворота:
p0→p0chψ
pv→p0shψ
где сама наблюдаемая скорость v:
v/c=thψ
При движении, выполняемом путем преобразования Галилея, мы имеем импульс:
p0→p0
pv→p0v/c
Здесь отличие от преобразований Лоренца в том, что в преобразованиях Галилея скорость движения по временной оси не меняется.
Теперь рассмотрим, как наблюдается изменение величины импульса.
При преобразованиях Лоренца импульс до и после одинаковый:
p20→p20ch2ψ−p20sh2ψ=p20
Величина p20 в СТО также задает инвариант и определяет квадрат массы тела. Соответственно, при преобразованиях Лоренца в СТО масса также инвариант.
При преобразованиях Галилея импульс до и после уже не одинаков:
p20→p20−p20v2/c2=p20(1−v2/c2)
Во-первых, должно наблюдаться уменьшение массы. Во-вторых, в силу произвольности выбора системы отсчета наблюдателем мы можем таким образом наблюдать практически произвольным образом уменьшенную массу.
Гипотеза, приравнивающая обе группы преобразований к допустимым, состоит в том, чтобы использовать в преобразовании импульса не саму скорость, а её нормированную величину:
p0→p0V0|→V|+p0Vv|→V|
Здесь для преобразования Лоренца
V0=chψ=1√1−v2/c2
Vv=shψ=v/c√1−v2/c2
|→V|=√V20−V2v=1
И для преобразования Галилея
V0=1
Vv=v/c
|→V|=√V20−V2v=√1−v2/c2
Во-первых, в этом случае автоматически выполняется правило инвариантности массы, поскольку величины импульсов до и после преобразований одинаковы и для преобразования Лоренца и для преобразования Галилея.
Во-вторых, формула преобразования импульса для преобразования Лоренца остается неизменной, поскольку
ch2ψ−sh2ψ=1
при любом значении ψ.
В-третьих, формула преобразования импульса для преобразования Галилея переходит в формулу для преобразования импульса для преобразования Лоренца:
p0→p01√1−v2/c2+p0v/c√1−v2/c2
Здесь первое слагаемое скаляр, второе вектор.
Тут важно отметить, что не преобразование Галилея переходит в преобразование Лоренца или преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея при устремлении c→∞, а именно что оба преобразования импульса, а не координат, переходят в одно и то же.
В-четвертых, что мне собственно говоря, больше всего и понравилось, это то, что при вращательном движении точка тела движется не по преобразованию Лоренца, а по преобразованию Галилея и величина скорости определяется геометрией тела и его угловлй скоростью, и при применении гипотезы о преобразовании импульса мы можем включить в энергию также и энергию вращательного движения. А именно, если скорость точки пропорциональна угловой скорости движения
v=rω
то, беря энергию движения как действительную составляющую импульса и разлагая в ряд по степеням относительно ω, мы также получим зависимость энергии как квадратичную функцию от угловой скорости в первом прибижении:
mc2√1−v2/c2−mc2≈mv22
mc2√1−r2ω2/c2−mc2≈mr2ω22
И теперь в энергию релятивистского движения можно включать как скорость линейного поступательного движения, так и скорость вращательного движения. В обоих случаях вклады скоростей в энергетику квадратичны:
E≈mv22
E≈mr2ω22=Iω22
Нужно не забывать, конечно, что это лишь первые приближения разложений энергии в ряд Тейлора.
Ссылки:
1. Про кинетическую энергию
https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/09/blog-post.html
2. О переходе преобразования Лоренца в преобразования Галилея
https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/06/blog-post.html
Комментариев нет:
Отправить комментарий