Исследуем, как выглядят элементарные функции комплексного переменного
$$
c = c_0 + ic_1
$$
где $i^2=-1$
Поскольку мнимая единица $i$ умножается на действительную и на саму себя коммутативно, эта алгебра является коммутативной. Более того, эта алгебра с делением. А именно, если есть произведение $$ ab $$ то оно равно произведению в обратном порядке: $$ ab=ba $$ и для каждого числа $a$ не равного нулю всегда найдется обратное число $$ a^{-1}=\frac{1}{a} $$ При этом, в силу коммутативности алгебр, левое обратное равно правому обратному.Сделанный отступ в сторону общеалгебраических свойств комплексных чисел важен, мы эти свойства будем использовать чтобы разобраться как ыглядят элементарные функции комплексного переменного. В самом деле, если есть к примеру экспонента действительного числа, то что будет если вместо действительного числа подставить комплексное? $$ a+b=c $$ $$ a_0+b_0+i(a_1+b_1)=c_0+ic_1 $$ Поскольку равенство гиперкомплексных чисел также определяется как покомпонентное равенство, то получаем: $$ c_0=a_0+b_0 $$ $$ c_1=a_1+b_1 $$ С операцией вычитания все то же самое: $$ a-b=c $$ $$ a_0-b_0+i(a_1-b_1)=c_0+ic_1 $$ $$ c_0=a_0-b_0 $$ $$ c_1=a_1-b_1 $$ Для операции произведения комплексных чисел используем свойство $$ i^2=-1 $$ $$ ab=c $$ $$ (a_0+ia_1)(b_0+ib_1)=c_0+ic_1 $$ $$ a_0b_0+ia_1b_0+ia_0b_1-a_1b_1=c_0+ic_1 $$ Следовательно, результат произведения $$ c_0=a_0b_0-a_1b_1 $$ $$ c_1=a_1b_0+a_0b_1 $$ Если говорить строго, то нет такого правила, что произведение мнимой единицы на мнимую единицу равно -1. Чтобы в вышеприведенном произведении организовать такое произведение мнимой единицы на себя, нужно положить равными нулю и единице соответствующие коэффициенты: $$ (0+i1)(0+i1)=-1+i0 $$ И, вообще говоря, нет отдельно мнимой единицы или действительной единицы, если идет речь о комплексных числах. В любом случае это комплексное число, не из одного, а из двух компонентов, но с нулевыми и единичными соответствующими компонентами. И в результате произведения двух мнимых единиц получается не действительное число -1, а комплексное $-1 + i0$. Конечно, мы не можем что-то возвести в квадрат так, чтобы получить действительную -1. Но получить комплексное число $-1 + i0$ можем. Из-за такого расширения возможностей мы далее увидим возможность получения, в частности, и логарифма отрицательного числа а при последующих исследованиях и арксинуса от более чем 1.
Это раньше был такой анекдот: "Товарищи курсанты, в военное время значение синуса может доходить до четырех." Анекдотом это было потому что подразумевался аргумент действительное число. В комплексных же числах это обычное дело. В частности, арксинус 4 равен: $$ \mathrm{arcsin}(4)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}(\sqrt{15}+4) $$ С операцией деления нам пригодится двухходовка с сопряжением. А именно, если есть число $$ a=a_0+ia_1 $$ то сопряженным ему (комплексно сопряженным, а также алгебраически сопряженным) является то же самое число с мнимой частью с обратным знаком: $$ \overline{a}=a_0-ia_1 $$ У этой операции в силу полученного ранее свойства произведения комплексных чисел есть свойство: $$ a\overline{a}=|a|^2=a_0^2+a_1^2+i0 $$ Здесь $|a|$ это модуль комплексного числа. В силу того, что у этого произведения двух комплексных чисел мнимая часть всегда равна 0, это произведение используется как просто действительное число.
Для того, чтобы найти что такое деление комплексных чисел, сводим задачу к умножению на обратное и к поиску что такое обратное число.Для этого возьмем произведение числа на сопряженное ему $$ a\overline{a}=|a|^2 $$ и, зная что справа стоит действительное число, поделим на него: $$ \frac{a\overline{a}}{|a|^2}=1 $$ Вообще говоря, здесь мы предполагаем что любая операция с комплексным числом (а произведение $a\overline{a}$ вообще говоря есть комплексное число), если у него нулевая мнимая часть, эквивалентна такой же операции с действительным числом, с одной только действительной компонентой.
Теперь мы видим, что слева стоит число $a$ умноженное на что-то, и в целом все равно единице: $$ a\frac{\overline{a}}{|a|^2}=1 $$ Очевидно, что то, что умножается здесь на $a$ справа, и есть число обратное к $a$: $$ a^{-1}=\frac{\overline{a}}{|a|^2} $$ Таким образом, деление в комплексных числах выглядит как произведение на нормированное сопряженное: $$ c=\frac{a}{b}=a\frac{\overline{b}}{|b|^2} $$ И теперь можем полностью записать операцию деления комплексных чисел: $$ c_0+ic_1=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2}+i\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2} $$ $$ c_0=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2} $$ $$ c_1=\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2} $$ Здесь интересным фактом выглядит то, что действительная часть $b_0$ может быть равна 0 $$ b_0=0 $$ если при этом мнимая часть $b_1$ не равна 0 $$ b_1\ne 0 $$ Теперь, зная что комплексные числа коммутативны и, зная как в них выглядят операции сложения, вычитания, вмножения и деления, перейдем к рассмотрению функций, в аргументе которых используются комплексные числа.
Ключевой функцией в этом отношении является функция экспоненты и, как мы увидим далее, свойства других функций выводятся из свойств экспоненты.
Функция экспоненты определена как: $$ e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$ Здесь n - натуральное, действительное число и факториал от нуля считается равным единице.
Поскольку алгебра комплексных чисел коммутативна, мы можем подставить вместо $x$ комплексное число без какого-либо изменения формулы.
У функции экспоненты (поскольку это показательная функция) есть важное свойство, которое мы используем $$ e^{a+b}=e^ae^b $$ Поскольку действительная и мнимая части комплексного числа коммутируют, мы можем разложить экспоненту комплексного числа: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}e^{ia_1} $$ Значение $e^{a_0}$ есть экспонента от действительного числа, уже известная функция. Для вычисления что такое экспонента мнимого числа разложим ряд: $$ e^{ia_1}=1+ia_1-\frac{a_1^2}{2!}-i\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^4}{4!}+ i\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^6}{6!}-i\frac{a_1^7}{7!}+\ldots $$ Это выражение представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого есть ряды: $$ 1-\frac{a_1^2}{2!}+\frac{a_1^4}{4!}-\frac{a_1^6}{6!}+\ldots $$ $$ a_1-\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^7}{7!}+\ldots $$ Это выражения для функций тригонометрического косинуса и синуса соответственно. И, значит, общее выражение для экспоненты мнимого числа равно $$ e^{ia_1}=\cos(a_1)+i\sin(a_1) $$ Это выражение называется формулой Эйлера.
Следовательно, функция экспоненты от комплексного числа равна: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1) $$ Здесь интересным фактом является то, что, в отличие от функции экспоненты действительного числа, функция экспоненты комплексного числа периодична по мнимой части аргумента: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0+ia_1+i2\pi n} $$ Теперь еще немного поднимем градус и рассмотрим произведение двух экспонент $$ e^c=e^{a+b}=e^ae^b=e^{a_0+ia_1}e^{b_0+ib_1} $$ И в этой формуле положим, что нас будет интересовать частный вариант $$ a_0=b_0=0 $$ В этом случае $$ e^{a_0}=e^{b_0}=1 $$ и формула произведения экспонент расписывается по компонентам: $$ \left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)\left(\cos(b_1)+i\sin(b_1)\right)= $$ $$ =\cos(a_1)cos(b1)+i\sin(a_1)\cos(b_1)+ $$ $$ +i\cos(a_1)\sin(b_1)-\sin(a_1)\sin(b1) $$ и эта формула равна экспоненте результата: $$ e^{ic_1}=\cos(c_1)+i\sin(c_1) $$ Зная что комплексные числа равны когда равны их компоненты, получаем: $$ \cos(c_1)=\cos(a_1)\cos(b_1)-\sin(a_1)\sin(b_1) $$ $$ \sin(c_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1) $$ Зная, что произведение экспонент равно экспоненте суммы $$ e^{a}e^{b}=e^{a+b} $$ получаем уравнения суммы синусов и косинусов: $$ \cos(a_1+b_1)=\cos(a_1)\cos(b1)-\sin(a_1)\sin(b1) $$ $$ \sin(a_1+b_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1) $$ В этой формуле интересны два момента. Во-первых, мы можем из этих формул получить уравнения для двойного угла, приравняв $$ a_1=b_1=x $$ $$ \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) $$ $$ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) $$ И теперь читатель, умея вывести формулу суммы углов и двойного угла, последовательно при необходимости может вывести формулы тройных и далее кратных углов.
И, во-вторых, интересным применением формулы суммы является получение формулы тригонометрических функций комплексного переменного: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\cos(ia_1)-\sin(a_0)\sin(ia1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\cos(ia_1)+\cos(a_0)\sin(ia_1) $$ Здесь остается выяснить, чему равны тригонометрические функции мнимого аргумента.
Для этого подставим значение $ix$ в качестве аргументов рядов для косинуса и синуса: $$ \cos(ix)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\ldots $$ $$ \sin(ix)=i\left(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots\right) $$ Эти ряды соответствуют элементарным функциям гиперболического косинуса и гиперболического синуса. $$ \mathrm{ch}(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots $$ $$ \mathrm{sh}(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots $$ Эти функции во многом аналогичны тригонометрическим косинусу и синусу. В частности, для них выполняется аналог суммы квадратов: $$ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 $$ но вместо суммы разность: $$ \mathrm{ch}^2(x)-\mathrm{sh}^2(x)=1 $$ Также как и тригонометрические косинус и синус они вычисляются в виде части экспоненциального ряда. Но имеют и важные отличия: гиперболические функции не периодичны и не ограничены по значению от -1 до 1. Для них точно так же существуют гиперболические тангенс и котангенс: $$ \mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} $$ $$ \mathrm{cth}(x)=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)} $$ И также как и для тригонометрических, для гиперболических синуса и косинуса можно вывести формулы суммы и разности углов и кратного аргумента.
Теперь, зная представление тригонометрических функций мнимого аргумента через гиперболические функции, представим формулы тригонометрических функций комплексного аргумента: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\mathrm{ch}(a_1)-i\sin(a_0)\mathrm{sh}(a_1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\mathrm{ch}(a_1)+i\cos(a_0)\mathrm{sh}(a_1) $$ Некоторая новизна введения гиперболических функций может вызвать вопрос - а нельзя ли их как-то выразить через что-то более понятное, чем ряды?
Любопытные свойства гиперболических функций видны, если сравнивать представления их рядами с представлением экспоненты, в частности: $$ e^x=\mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x) $$ Функция гиперболического косинуса, как и тригонометрического косинуса, четная: $$ \mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}(x) $$ и функция гиперболического синуса, как и тригонометрического синуса, нечетная: $$ \mathrm{sh}(-x)=\mathrm{sh}(x) $$ Поэтому эти функции можно выразить через экспоненту: $$ \mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ \mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ Соответственно, те кого могут смущать гиперболические функции, могут заменять их на эквивалентную запись через экспоненты, в частности в формулах тригонометрических функций комплексного переменного.
Интересным свойством тригонометрических функций комплексного переменного является то, что они, во-первых, не ограничены значениями от -1 до 1, как функции действительного переменного, и во-вторых, по-прежнему периодичны по действительной части своего аргумента: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0+2\pi n+ia_1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0+2\pi n+ia_1) $$ Но, в отличие от экспоненты, не периодичны по мнимой чати аргумента.
Используем формулы тригонометрических функций мнимого аргумента $$ \cos(ix)=\mathrm{ch}(x) $$ $$ \sin(ix)=\mathrm{sh}(x) $$ Для того, чтобы получить выражения гиперболических косинуса и синуса для мнимого аргумента, выполним замену $$ x\rightarrow ix $$ и поменяем правые и левые части уравнений местами: $$ \mathrm{ch}(ix)=\cos(iix) $$ $$ i\mathrm{sh}(ix)=\sin(iix) $$ Учитывая, что косинус является четной функцией, получим: $$ \mathrm{ch}(ix)=\cos(x) $$ и, учитывая что синус является нечетной функцией, получим: $$ i\mathrm{sh}(ix)=-\sin(x) $$ И умножим здесь левую и правую части на $-i$. Поскольку $-i$ не является ни равной нулю, ни бесконечности величиной, мы вправе это сделать. Тогда получим: $$ -ii\mathrm{sh}(ix)=(-i)(-\sin(x)) $$ $$ \mathrm{sh}(ix)=i\sin(x) $$ Сравнив с соответствующим выражением для тригонометрических функций выражения гиперболических функций мнимого аргумента, видим что они во многом аналогичны.
Теперь получим выражения для гиперболических функций не мнимого, а полного, комплексного аргумента. Можем использовать как формулу тригонометрических функций, так и представление гиперболических функций через экспоненту. Используем второй вариант: $$ \mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ \mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ и подставим вместо $e^x$ экспоненту комплексного числа в выражение гиперболического косинуса: $$ \mathrm{ch}(a_0+oa_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}sin(a_1)+ e^{-a_0}\cos(a_1)-ie^{-a_0}sin(a_1) \right)= $$ $$ =\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\sin(a_1)= $$ $$ =\mathrm{ch}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{sh}(a_0)\sin(a_1) $$ И то же самое проделаем с представлением гиперболического синуса: $$ \mathrm{sh}(a_0+ia_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1)- e^{-a_0}\cos(a_1)+ie^{-a_0}\sin(a_1) \right)= $$ $$ =\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\sin(a_1)= $$ $$ =\mathrm{sh}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{ch}(a_0)\sin(a_1) $$ Теперь еще немного поднимем градус и попробуем найти функцию логарифма комплексного числа. Функция логарифма определена как функция, обратная к функции экспоненты (натуральный логарифм): $$ \ln(e^x)=x $$ или, если $$ e^x=y $$ то $$ x=\ln(y) $$ Если нам известна функция экспоненты для комплексного числа $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)=y_0+iy_1 $$ То нам надо найти обратный ход вычислений, выразить $a$ через $y$. В отношении $a_0$ это сделать довольно просто, если использовать понятие модуля $$ x\overline{x}=|x|^2 $$ В нашем случае искомая величина $e^{a_0}$ и представляет собой такой модуль, поскольку $$ e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right) e^{a_0}\left(\cos(a_1)-i\sin(a_1)\right)= $$ $$ e^{2a_0}\left(\cos^2(a_1)+\sin^2(a_1)\right)=e^{2a_0}=|e^{a_0}|^2 $$ Поэтому просто возьмем модуль числа $y$ и возьмем от него логарифм: $$ a_0=\ln\left(\sqrt{y_0^2+y_1^2}\right) $$ Для нахождения значения $a_1$ через компоненты числа $y$ избавимся от значения $a_0$: $$ \frac{e^{a_0}\sin(a_1)}{e^{a_0}\cos(a_1)}=\frac{y_1}{y_0} $$ откуда следует, что $$ a_1=\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n $$ Итого, соединив вместе выражения для отдельных компонент, получим: $$ \ln(y_0+y_1)=\ln\left(\sqrt{y_0+y_1}\right)+ i\left(\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n\right) $$ Логарифмы комплексных чисел отличаются от логарифмов действительных чисел в том, что они определены и для отрицательныого аргумента, а также своей периодичностью по мнимой части. Поскольку периодичность по мнимой части никак не зависит от самих значений $y_1$ и $y_0$, логарифм в области комплексных чисел имеет периодичность даже для положительных действительных чисел, чего нет у логарифма в области действительных чисел.
Это свойство логарифма в области гиперкомплексноых чисел имеет следствием, в частности, периодичность вращений.Если есть некоторое вращение, то оператор такого преобразования в точности равен оператору поворота на $2\pi n$ в том же направлении. И, если изначально вращение отсутствует, что выражается нулевой мнимой частью и произвольностью направления этого нуля, то такое полное отсутствие вращения периодично по любому направлению.
Теперь еще немного поднимем градус и найдем функцию взятия корня для комплексного числа. Для этого обратимся к экспоненциальной функции. Если некое число представлено в виде экспоненты $$ e^x=y $$ то возведение этого числа в степень $n$ $$ y^n $$ эквивалентно умножению показателя экспоненты на $n$: $$ y^n=e^{nx} $$ В случае если мы возводим число в квадрат, куб, или другую большую степень, то это число $n$ равно соответственно 2, 3 и так далее, то есть больше 1.
В случае же если мы извлекаем корень $n$-й степени, то мы соответственно показатель степени экспоненты в данном случае делим на $n$.
И, если берем корень квадратный или кубический, то $n$ соответственно равно 2 или 3, если мы на $n$ делим.
Перейдем к формуле Эйлера $$ y=e^{x_0+ix_1}=e^{x_0}\left('cos(x_1)+i\sin(x_1)\right) $$ Для того, чтобы взять корень $n$-й степени, надо значение $x$ заменить на $x/n$: $$ \sqrt[n]{y}=e^{\frac{x_0+ix_1}{n}} $$ Раскрыв это выражение и немного упростив, получим: $$ \sqrt[n]{y}=\sqrt[2n]{y_0^2+y_1^2}\left( \cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right)+ i\sin\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right) \right) $$ здесь $n$ - показатель степени корня, а $m$ - произвольное целое число, выражающее периодичность значения.
Эта формула носит имя Муавра, и известна в нескольких различных вариантах, как для возведения в степень $n$, так и для взятия корня степени $n$ из комплексного числа.
В случае если $n=2$ и изначально комплексное число задано в показательной форме, имеем: $$ y=|y|\left(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\right) $$ $$ \sqrt{y}=\sqrt{|y|}\left( \cos(\varphi/2)+i\sin(\varphi/2) \right) $$ И для нахождения результата взятия корня не через тригонометрические конструкции типа $$ \cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)}{n}\right) $$ а как-то более кратко используем функции половинного аргумента для тригонометрических косинуса и синуса: $$ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} $$ $$ \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} $$ Соответственно, квадратный корень из комплексного числа равен: $$ \sqrt{a_0+ia_1}=\pm(y_0+iy_1) $$ где компоненты $y$ равны: $$ y_0=\sqrt{\frac{a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}} $$ $$ y_1=\mathrm{sgn}(a_1)\sqrt{\frac{-a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}} $$ здесь $\mathrm{sgn}$ - функция знака числа.
Теперь мы переходим к одной из самых малоафишируемых тем, к обратным тригонометрическим и обратным гиперболическим функциям. Да, к тем самым, в которых становится понятно выражение арксинуса четырех.
Если рассматривать подходы к образованию некоторым образом издали, то легко можно увидеть два различных по своему содержанию и результатам направления: 1) давайте запомним справочник и 2) давайте поймем как это выводится. Поскольку в первом подходе знаний не содержится, нас и далее будет интересовать второй, хотя и без загромождения тем, что действительно является излишним.
Итак, опишем функцию арксинус комплексного переменного как функцию, обратную функции синус.
Имеем уравнение $$ z=\sin(a) $$ Функция синус, как мы уже выяснили ранее, выражается через гиперболический синус, а он в свою очередь через экспоненту: $$ \sin(a)=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i} $$ Здесь мы ничем не пожертвовали, и у нас по-прежнему $a$ - это комплексное число: $$ a=a_0+ia_1 $$ В правой части уравнения $\sin(a)$ искомое значение $a$ стоит в двух членах отличающихся степенью. Поэтому сведем уравнение к квадратному уравнению относительно $e^{ia}$, сначала упростив: $$ 2iz = e^{ia}-e^{-ia} $$ Умножим обе части уравнения на $e^{ia}$, чтобы исключить член с $e^{-ia}$: $$ 2ize^{ia}=(e^{ia})^2-1 $$ А это уже квадратное уравнение относительно $e^{ia}$: $$ (e^{ia})^2-2ize^{ia}-1=0 $$ Решая квадратное уравнение относительно $e^{ia}$, получим: $$ e^{ia}=iz\pm\sqrt{1-z^2} $$ Получив уравнение содержащее $a$ в первом порядке, логарифмируем чтобы выразить $a$: $$ ia=\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right) $$ И умножим на $-i$ чтобы получить $a$: $$ a=-i\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right) $$ Здесь справа в качестве $z$ используется комплексное число, аргумент функции тригонометрического арксинуса. Вообще говоря, справа используется и возведение в степень $$ z^2=z_0^2-z_1^2+2iz_0z_1 $$ и взятие квадратного корня $$ \sqrt{1-z^2} $$ и умножение на мнимую единицу $$ iz $$ и взятие функции логарифма комплексного переменного, в котором используется арктангенс комплексного переменного и деление комплексного переменного.
И все эти операции применяются к аргументу - комплексному переменному, как к аргументу арксинуса. Обычно учебники по теории функций комплексного переменного ограничиваются перечислением как выразить обратные функции через комплексный логарифм. Приведем список таких обратных функций: $$ \mathrm{arcsin(z)}=-i\mathrm{ln}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right) $$ $$ \mathrm{arccos(z)}=-i\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) $$ $$ \mathrm{arctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{i-z}{i+z}\right) $$ $$ \mathrm{arcctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z-i}{z+i}\right) $$ $$ \mathrm{arsh(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right) $$ $$ \mathrm{arch(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) $$ $$ \mathrm{arth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) $$ $$ \mathrm{arcth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) $$ Если получены такие выражения, то, имея численные значения $z$, его компонентов, можно вычислить компоненты соответствующих обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Но нас, конечно, будет интересовать как же выглядят на самом деле компоненты обратных функций, то есть эти выражения, полученные не численно, а аналитически. Будем рассматривать лишь функцию $\mathrm{arcsin}(z)$ для примера.
Если есть $$ z=x+iy $$ то введем дополнительные переменные или подстановки для сокращения записи: $$ u=y^2-x^2+1 $$ $$ v=u^2+4x^2y^2 $$ С такими подстановками выражение арксинуса сокращается до относительно обозримого: $$ \mathrm{arcsin}(x+iy)= -\mathrm{arctg}\left(\frac{ \sqrt[4]{v}\sin\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-x}{ \sqrt[4]{v}\cos\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-y}\right)- $$ $$ -\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left( \left(x-\sqrt[4]{v}\sin\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)\right)^2+ \left(\sqrt[4]{v}\cos\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)-y\right)^2 \right) $$ Это если в общей форме. Если же нужно как в вышеприведенном случае найти арксинус четырех, то нужно положить равными: $$ x=4 $$ $$ y=0 $$ и после упрощения получится: $$ \mathrm{arcsin}(4+i0)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}\left(\sqrt{15}+4\right) $$ Полагаю, что одного взгляда на аналитическую запись арксинуса может оказаться достаточным, чтобы сразу забыть про вариант изучения математики в формате "давайте запомним справочник" и перейти к варианту "будем понимать как вывести и осваивать систему компьютерной алгебры". Масштаб проблемы с упрощением таких выражений огромен и применение автоматических компьютерных средств более чем оправдано.
В работе над этой статьей были использованы пакеты компьютерной алгебры Maxima и MathCAD.
Поскольку мнимая единица $i$ умножается на действительную и на саму себя коммутативно, эта алгебра является коммутативной. Более того, эта алгебра с делением. А именно, если есть произведение $$ ab $$ то оно равно произведению в обратном порядке: $$ ab=ba $$ и для каждого числа $a$ не равного нулю всегда найдется обратное число $$ a^{-1}=\frac{1}{a} $$ При этом, в силу коммутативности алгебр, левое обратное равно правому обратному.Сделанный отступ в сторону общеалгебраических свойств комплексных чисел важен, мы эти свойства будем использовать чтобы разобраться как ыглядят элементарные функции комплексного переменного. В самом деле, если есть к примеру экспонента действительного числа, то что будет если вместо действительного числа подставить комплексное? $$ a+b=c $$ $$ a_0+b_0+i(a_1+b_1)=c_0+ic_1 $$ Поскольку равенство гиперкомплексных чисел также определяется как покомпонентное равенство, то получаем: $$ c_0=a_0+b_0 $$ $$ c_1=a_1+b_1 $$ С операцией вычитания все то же самое: $$ a-b=c $$ $$ a_0-b_0+i(a_1-b_1)=c_0+ic_1 $$ $$ c_0=a_0-b_0 $$ $$ c_1=a_1-b_1 $$ Для операции произведения комплексных чисел используем свойство $$ i^2=-1 $$ $$ ab=c $$ $$ (a_0+ia_1)(b_0+ib_1)=c_0+ic_1 $$ $$ a_0b_0+ia_1b_0+ia_0b_1-a_1b_1=c_0+ic_1 $$ Следовательно, результат произведения $$ c_0=a_0b_0-a_1b_1 $$ $$ c_1=a_1b_0+a_0b_1 $$ Если говорить строго, то нет такого правила, что произведение мнимой единицы на мнимую единицу равно -1. Чтобы в вышеприведенном произведении организовать такое произведение мнимой единицы на себя, нужно положить равными нулю и единице соответствующие коэффициенты: $$ (0+i1)(0+i1)=-1+i0 $$ И, вообще говоря, нет отдельно мнимой единицы или действительной единицы, если идет речь о комплексных числах. В любом случае это комплексное число, не из одного, а из двух компонентов, но с нулевыми и единичными соответствующими компонентами. И в результате произведения двух мнимых единиц получается не действительное число -1, а комплексное $-1 + i0$. Конечно, мы не можем что-то возвести в квадрат так, чтобы получить действительную -1. Но получить комплексное число $-1 + i0$ можем. Из-за такого расширения возможностей мы далее увидим возможность получения, в частности, и логарифма отрицательного числа а при последующих исследованиях и арксинуса от более чем 1.
Это раньше был такой анекдот: "Товарищи курсанты, в военное время значение синуса может доходить до четырех." Анекдотом это было потому что подразумевался аргумент действительное число. В комплексных же числах это обычное дело. В частности, арксинус 4 равен: $$ \mathrm{arcsin}(4)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}(\sqrt{15}+4) $$ С операцией деления нам пригодится двухходовка с сопряжением. А именно, если есть число $$ a=a_0+ia_1 $$ то сопряженным ему (комплексно сопряженным, а также алгебраически сопряженным) является то же самое число с мнимой частью с обратным знаком: $$ \overline{a}=a_0-ia_1 $$ У этой операции в силу полученного ранее свойства произведения комплексных чисел есть свойство: $$ a\overline{a}=|a|^2=a_0^2+a_1^2+i0 $$ Здесь $|a|$ это модуль комплексного числа. В силу того, что у этого произведения двух комплексных чисел мнимая часть всегда равна 0, это произведение используется как просто действительное число.
Для того, чтобы найти что такое деление комплексных чисел, сводим задачу к умножению на обратное и к поиску что такое обратное число.Для этого возьмем произведение числа на сопряженное ему $$ a\overline{a}=|a|^2 $$ и, зная что справа стоит действительное число, поделим на него: $$ \frac{a\overline{a}}{|a|^2}=1 $$ Вообще говоря, здесь мы предполагаем что любая операция с комплексным числом (а произведение $a\overline{a}$ вообще говоря есть комплексное число), если у него нулевая мнимая часть, эквивалентна такой же операции с действительным числом, с одной только действительной компонентой.
Теперь мы видим, что слева стоит число $a$ умноженное на что-то, и в целом все равно единице: $$ a\frac{\overline{a}}{|a|^2}=1 $$ Очевидно, что то, что умножается здесь на $a$ справа, и есть число обратное к $a$: $$ a^{-1}=\frac{\overline{a}}{|a|^2} $$ Таким образом, деление в комплексных числах выглядит как произведение на нормированное сопряженное: $$ c=\frac{a}{b}=a\frac{\overline{b}}{|b|^2} $$ И теперь можем полностью записать операцию деления комплексных чисел: $$ c_0+ic_1=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2}+i\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2} $$ $$ c_0=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2} $$ $$ c_1=\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2} $$ Здесь интересным фактом выглядит то, что действительная часть $b_0$ может быть равна 0 $$ b_0=0 $$ если при этом мнимая часть $b_1$ не равна 0 $$ b_1\ne 0 $$ Теперь, зная что комплексные числа коммутативны и, зная как в них выглядят операции сложения, вычитания, вмножения и деления, перейдем к рассмотрению функций, в аргументе которых используются комплексные числа.
Ключевой функцией в этом отношении является функция экспоненты и, как мы увидим далее, свойства других функций выводятся из свойств экспоненты.
Функция экспоненты определена как: $$ e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$ Здесь n - натуральное, действительное число и факториал от нуля считается равным единице.
Поскольку алгебра комплексных чисел коммутативна, мы можем подставить вместо $x$ комплексное число без какого-либо изменения формулы.
У функции экспоненты (поскольку это показательная функция) есть важное свойство, которое мы используем $$ e^{a+b}=e^ae^b $$ Поскольку действительная и мнимая части комплексного числа коммутируют, мы можем разложить экспоненту комплексного числа: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}e^{ia_1} $$ Значение $e^{a_0}$ есть экспонента от действительного числа, уже известная функция. Для вычисления что такое экспонента мнимого числа разложим ряд: $$ e^{ia_1}=1+ia_1-\frac{a_1^2}{2!}-i\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^4}{4!}+ i\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^6}{6!}-i\frac{a_1^7}{7!}+\ldots $$ Это выражение представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого есть ряды: $$ 1-\frac{a_1^2}{2!}+\frac{a_1^4}{4!}-\frac{a_1^6}{6!}+\ldots $$ $$ a_1-\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^7}{7!}+\ldots $$ Это выражения для функций тригонометрического косинуса и синуса соответственно. И, значит, общее выражение для экспоненты мнимого числа равно $$ e^{ia_1}=\cos(a_1)+i\sin(a_1) $$ Это выражение называется формулой Эйлера.
Следовательно, функция экспоненты от комплексного числа равна: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1) $$ Здесь интересным фактом является то, что, в отличие от функции экспоненты действительного числа, функция экспоненты комплексного числа периодична по мнимой части аргумента: $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0+ia_1+i2\pi n} $$ Теперь еще немного поднимем градус и рассмотрим произведение двух экспонент $$ e^c=e^{a+b}=e^ae^b=e^{a_0+ia_1}e^{b_0+ib_1} $$ И в этой формуле положим, что нас будет интересовать частный вариант $$ a_0=b_0=0 $$ В этом случае $$ e^{a_0}=e^{b_0}=1 $$ и формула произведения экспонент расписывается по компонентам: $$ \left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)\left(\cos(b_1)+i\sin(b_1)\right)= $$ $$ =\cos(a_1)cos(b1)+i\sin(a_1)\cos(b_1)+ $$ $$ +i\cos(a_1)\sin(b_1)-\sin(a_1)\sin(b1) $$ и эта формула равна экспоненте результата: $$ e^{ic_1}=\cos(c_1)+i\sin(c_1) $$ Зная что комплексные числа равны когда равны их компоненты, получаем: $$ \cos(c_1)=\cos(a_1)\cos(b_1)-\sin(a_1)\sin(b_1) $$ $$ \sin(c_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1) $$ Зная, что произведение экспонент равно экспоненте суммы $$ e^{a}e^{b}=e^{a+b} $$ получаем уравнения суммы синусов и косинусов: $$ \cos(a_1+b_1)=\cos(a_1)\cos(b1)-\sin(a_1)\sin(b1) $$ $$ \sin(a_1+b_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1) $$ В этой формуле интересны два момента. Во-первых, мы можем из этих формул получить уравнения для двойного угла, приравняв $$ a_1=b_1=x $$ $$ \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) $$ $$ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) $$ И теперь читатель, умея вывести формулу суммы углов и двойного угла, последовательно при необходимости может вывести формулы тройных и далее кратных углов.
И, во-вторых, интересным применением формулы суммы является получение формулы тригонометрических функций комплексного переменного: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\cos(ia_1)-\sin(a_0)\sin(ia1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\cos(ia_1)+\cos(a_0)\sin(ia_1) $$ Здесь остается выяснить, чему равны тригонометрические функции мнимого аргумента.
Для этого подставим значение $ix$ в качестве аргументов рядов для косинуса и синуса: $$ \cos(ix)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\ldots $$ $$ \sin(ix)=i\left(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots\right) $$ Эти ряды соответствуют элементарным функциям гиперболического косинуса и гиперболического синуса. $$ \mathrm{ch}(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots $$ $$ \mathrm{sh}(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots $$ Эти функции во многом аналогичны тригонометрическим косинусу и синусу. В частности, для них выполняется аналог суммы квадратов: $$ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 $$ но вместо суммы разность: $$ \mathrm{ch}^2(x)-\mathrm{sh}^2(x)=1 $$ Также как и тригонометрические косинус и синус они вычисляются в виде части экспоненциального ряда. Но имеют и важные отличия: гиперболические функции не периодичны и не ограничены по значению от -1 до 1. Для них точно так же существуют гиперболические тангенс и котангенс: $$ \mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} $$ $$ \mathrm{cth}(x)=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)} $$ И также как и для тригонометрических, для гиперболических синуса и косинуса можно вывести формулы суммы и разности углов и кратного аргумента.
Теперь, зная представление тригонометрических функций мнимого аргумента через гиперболические функции, представим формулы тригонометрических функций комплексного аргумента: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\mathrm{ch}(a_1)-i\sin(a_0)\mathrm{sh}(a_1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\mathrm{ch}(a_1)+i\cos(a_0)\mathrm{sh}(a_1) $$ Некоторая новизна введения гиперболических функций может вызвать вопрос - а нельзя ли их как-то выразить через что-то более понятное, чем ряды?
Любопытные свойства гиперболических функций видны, если сравнивать представления их рядами с представлением экспоненты, в частности: $$ e^x=\mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x) $$ Функция гиперболического косинуса, как и тригонометрического косинуса, четная: $$ \mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}(x) $$ и функция гиперболического синуса, как и тригонометрического синуса, нечетная: $$ \mathrm{sh}(-x)=\mathrm{sh}(x) $$ Поэтому эти функции можно выразить через экспоненту: $$ \mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ \mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ Соответственно, те кого могут смущать гиперболические функции, могут заменять их на эквивалентную запись через экспоненты, в частности в формулах тригонометрических функций комплексного переменного.
Интересным свойством тригонометрических функций комплексного переменного является то, что они, во-первых, не ограничены значениями от -1 до 1, как функции действительного переменного, и во-вторых, по-прежнему периодичны по действительной части своего аргумента: $$ \cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0+2\pi n+ia_1) $$ $$ \sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0+2\pi n+ia_1) $$ Но, в отличие от экспоненты, не периодичны по мнимой чати аргумента.
Используем формулы тригонометрических функций мнимого аргумента $$ \cos(ix)=\mathrm{ch}(x) $$ $$ \sin(ix)=\mathrm{sh}(x) $$ Для того, чтобы получить выражения гиперболических косинуса и синуса для мнимого аргумента, выполним замену $$ x\rightarrow ix $$ и поменяем правые и левые части уравнений местами: $$ \mathrm{ch}(ix)=\cos(iix) $$ $$ i\mathrm{sh}(ix)=\sin(iix) $$ Учитывая, что косинус является четной функцией, получим: $$ \mathrm{ch}(ix)=\cos(x) $$ и, учитывая что синус является нечетной функцией, получим: $$ i\mathrm{sh}(ix)=-\sin(x) $$ И умножим здесь левую и правую части на $-i$. Поскольку $-i$ не является ни равной нулю, ни бесконечности величиной, мы вправе это сделать. Тогда получим: $$ -ii\mathrm{sh}(ix)=(-i)(-\sin(x)) $$ $$ \mathrm{sh}(ix)=i\sin(x) $$ Сравнив с соответствующим выражением для тригонометрических функций выражения гиперболических функций мнимого аргумента, видим что они во многом аналогичны.
Теперь получим выражения для гиперболических функций не мнимого, а полного, комплексного аргумента. Можем использовать как формулу тригонометрических функций, так и представление гиперболических функций через экспоненту. Используем второй вариант: $$ \mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ \mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ и подставим вместо $e^x$ экспоненту комплексного числа в выражение гиперболического косинуса: $$ \mathrm{ch}(a_0+oa_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}sin(a_1)+ e^{-a_0}\cos(a_1)-ie^{-a_0}sin(a_1) \right)= $$ $$ =\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\sin(a_1)= $$ $$ =\mathrm{ch}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{sh}(a_0)\sin(a_1) $$ И то же самое проделаем с представлением гиперболического синуса: $$ \mathrm{sh}(a_0+ia_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1)- e^{-a_0}\cos(a_1)+ie^{-a_0}\sin(a_1) \right)= $$ $$ =\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\sin(a_1)= $$ $$ =\mathrm{sh}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{ch}(a_0)\sin(a_1) $$ Теперь еще немного поднимем градус и попробуем найти функцию логарифма комплексного числа. Функция логарифма определена как функция, обратная к функции экспоненты (натуральный логарифм): $$ \ln(e^x)=x $$ или, если $$ e^x=y $$ то $$ x=\ln(y) $$ Если нам известна функция экспоненты для комплексного числа $$ e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)=y_0+iy_1 $$ То нам надо найти обратный ход вычислений, выразить $a$ через $y$. В отношении $a_0$ это сделать довольно просто, если использовать понятие модуля $$ x\overline{x}=|x|^2 $$ В нашем случае искомая величина $e^{a_0}$ и представляет собой такой модуль, поскольку $$ e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right) e^{a_0}\left(\cos(a_1)-i\sin(a_1)\right)= $$ $$ e^{2a_0}\left(\cos^2(a_1)+\sin^2(a_1)\right)=e^{2a_0}=|e^{a_0}|^2 $$ Поэтому просто возьмем модуль числа $y$ и возьмем от него логарифм: $$ a_0=\ln\left(\sqrt{y_0^2+y_1^2}\right) $$ Для нахождения значения $a_1$ через компоненты числа $y$ избавимся от значения $a_0$: $$ \frac{e^{a_0}\sin(a_1)}{e^{a_0}\cos(a_1)}=\frac{y_1}{y_0} $$ откуда следует, что $$ a_1=\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n $$ Итого, соединив вместе выражения для отдельных компонент, получим: $$ \ln(y_0+y_1)=\ln\left(\sqrt{y_0+y_1}\right)+ i\left(\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n\right) $$ Логарифмы комплексных чисел отличаются от логарифмов действительных чисел в том, что они определены и для отрицательныого аргумента, а также своей периодичностью по мнимой части. Поскольку периодичность по мнимой части никак не зависит от самих значений $y_1$ и $y_0$, логарифм в области комплексных чисел имеет периодичность даже для положительных действительных чисел, чего нет у логарифма в области действительных чисел.
Это свойство логарифма в области гиперкомплексноых чисел имеет следствием, в частности, периодичность вращений.Если есть некоторое вращение, то оператор такого преобразования в точности равен оператору поворота на $2\pi n$ в том же направлении. И, если изначально вращение отсутствует, что выражается нулевой мнимой частью и произвольностью направления этого нуля, то такое полное отсутствие вращения периодично по любому направлению.
Теперь еще немного поднимем градус и найдем функцию взятия корня для комплексного числа. Для этого обратимся к экспоненциальной функции. Если некое число представлено в виде экспоненты $$ e^x=y $$ то возведение этого числа в степень $n$ $$ y^n $$ эквивалентно умножению показателя экспоненты на $n$: $$ y^n=e^{nx} $$ В случае если мы возводим число в квадрат, куб, или другую большую степень, то это число $n$ равно соответственно 2, 3 и так далее, то есть больше 1.
В случае же если мы извлекаем корень $n$-й степени, то мы соответственно показатель степени экспоненты в данном случае делим на $n$.
И, если берем корень квадратный или кубический, то $n$ соответственно равно 2 или 3, если мы на $n$ делим.
Перейдем к формуле Эйлера $$ y=e^{x_0+ix_1}=e^{x_0}\left('cos(x_1)+i\sin(x_1)\right) $$ Для того, чтобы взять корень $n$-й степени, надо значение $x$ заменить на $x/n$: $$ \sqrt[n]{y}=e^{\frac{x_0+ix_1}{n}} $$ Раскрыв это выражение и немного упростив, получим: $$ \sqrt[n]{y}=\sqrt[2n]{y_0^2+y_1^2}\left( \cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right)+ i\sin\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right) \right) $$ здесь $n$ - показатель степени корня, а $m$ - произвольное целое число, выражающее периодичность значения.
Эта формула носит имя Муавра, и известна в нескольких различных вариантах, как для возведения в степень $n$, так и для взятия корня степени $n$ из комплексного числа.
В случае если $n=2$ и изначально комплексное число задано в показательной форме, имеем: $$ y=|y|\left(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\right) $$ $$ \sqrt{y}=\sqrt{|y|}\left( \cos(\varphi/2)+i\sin(\varphi/2) \right) $$ И для нахождения результата взятия корня не через тригонометрические конструкции типа $$ \cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)}{n}\right) $$ а как-то более кратко используем функции половинного аргумента для тригонометрических косинуса и синуса: $$ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} $$ $$ \sin\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} $$ Соответственно, квадратный корень из комплексного числа равен: $$ \sqrt{a_0+ia_1}=\pm(y_0+iy_1) $$ где компоненты $y$ равны: $$ y_0=\sqrt{\frac{a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}} $$ $$ y_1=\mathrm{sgn}(a_1)\sqrt{\frac{-a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}} $$ здесь $\mathrm{sgn}$ - функция знака числа.
Теперь мы переходим к одной из самых малоафишируемых тем, к обратным тригонометрическим и обратным гиперболическим функциям. Да, к тем самым, в которых становится понятно выражение арксинуса четырех.
Если рассматривать подходы к образованию некоторым образом издали, то легко можно увидеть два различных по своему содержанию и результатам направления: 1) давайте запомним справочник и 2) давайте поймем как это выводится. Поскольку в первом подходе знаний не содержится, нас и далее будет интересовать второй, хотя и без загромождения тем, что действительно является излишним.
Итак, опишем функцию арксинус комплексного переменного как функцию, обратную функции синус.
Имеем уравнение $$ z=\sin(a) $$ Функция синус, как мы уже выяснили ранее, выражается через гиперболический синус, а он в свою очередь через экспоненту: $$ \sin(a)=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i} $$ Здесь мы ничем не пожертвовали, и у нас по-прежнему $a$ - это комплексное число: $$ a=a_0+ia_1 $$ В правой части уравнения $\sin(a)$ искомое значение $a$ стоит в двух членах отличающихся степенью. Поэтому сведем уравнение к квадратному уравнению относительно $e^{ia}$, сначала упростив: $$ 2iz = e^{ia}-e^{-ia} $$ Умножим обе части уравнения на $e^{ia}$, чтобы исключить член с $e^{-ia}$: $$ 2ize^{ia}=(e^{ia})^2-1 $$ А это уже квадратное уравнение относительно $e^{ia}$: $$ (e^{ia})^2-2ize^{ia}-1=0 $$ Решая квадратное уравнение относительно $e^{ia}$, получим: $$ e^{ia}=iz\pm\sqrt{1-z^2} $$ Получив уравнение содержащее $a$ в первом порядке, логарифмируем чтобы выразить $a$: $$ ia=\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right) $$ И умножим на $-i$ чтобы получить $a$: $$ a=-i\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right) $$ Здесь справа в качестве $z$ используется комплексное число, аргумент функции тригонометрического арксинуса. Вообще говоря, справа используется и возведение в степень $$ z^2=z_0^2-z_1^2+2iz_0z_1 $$ и взятие квадратного корня $$ \sqrt{1-z^2} $$ и умножение на мнимую единицу $$ iz $$ и взятие функции логарифма комплексного переменного, в котором используется арктангенс комплексного переменного и деление комплексного переменного.
И все эти операции применяются к аргументу - комплексному переменному, как к аргументу арксинуса. Обычно учебники по теории функций комплексного переменного ограничиваются перечислением как выразить обратные функции через комплексный логарифм. Приведем список таких обратных функций: $$ \mathrm{arcsin(z)}=-i\mathrm{ln}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right) $$ $$ \mathrm{arccos(z)}=-i\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) $$ $$ \mathrm{arctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{i-z}{i+z}\right) $$ $$ \mathrm{arcctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z-i}{z+i}\right) $$ $$ \mathrm{arsh(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right) $$ $$ \mathrm{arch(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right) $$ $$ \mathrm{arth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) $$ $$ \mathrm{arcth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) $$ Если получены такие выражения, то, имея численные значения $z$, его компонентов, можно вычислить компоненты соответствующих обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Но нас, конечно, будет интересовать как же выглядят на самом деле компоненты обратных функций, то есть эти выражения, полученные не численно, а аналитически. Будем рассматривать лишь функцию $\mathrm{arcsin}(z)$ для примера.
Если есть $$ z=x+iy $$ то введем дополнительные переменные или подстановки для сокращения записи: $$ u=y^2-x^2+1 $$ $$ v=u^2+4x^2y^2 $$ С такими подстановками выражение арксинуса сокращается до относительно обозримого: $$ \mathrm{arcsin}(x+iy)= -\mathrm{arctg}\left(\frac{ \sqrt[4]{v}\sin\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-x}{ \sqrt[4]{v}\cos\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-y}\right)- $$ $$ -\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left( \left(x-\sqrt[4]{v}\sin\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)\right)^2+ \left(\sqrt[4]{v}\cos\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)-y\right)^2 \right) $$ Это если в общей форме. Если же нужно как в вышеприведенном случае найти арксинус четырех, то нужно положить равными: $$ x=4 $$ $$ y=0 $$ и после упрощения получится: $$ \mathrm{arcsin}(4+i0)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}\left(\sqrt{15}+4\right) $$ Полагаю, что одного взгляда на аналитическую запись арксинуса может оказаться достаточным, чтобы сразу забыть про вариант изучения математики в формате "давайте запомним справочник" и перейти к варианту "будем понимать как вывести и осваивать систему компьютерной алгебры". Масштаб проблемы с упрощением таких выражений огромен и применение автоматических компьютерных средств более чем оправдано.
В работе над этой статьей были использованы пакеты компьютерной алгебры Maxima и MathCAD.
Комментариев нет:
Отправить комментарий