Элементарные функции комплексного переменного

Исследуем, как выглядят элементарные функции комплексного переменного $$c = c_0 + ic_1$$ где $i^2=-1$

Поскольку мнимая единица $i$ умножается на действительную и на саму себя коммутативно, эта алгебра является коммутативной. Более того, эта алгебра с делением. А именно, если есть произведение $$ab$$ то оно равно произведению в обратном порядке: $$ab=ba$$ и для каждого числа $a$ не равного нулю всегда найдется обратное число $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$ При этом, в силу коммутативности алгебр, левое обратное равно правому обратному.Сделанный отступ в сторону общеалгебраических свойств комплексных чисел важен, мы эти свойства будем использовать чтобы разобраться как ыглядят элементарные функции комплексного переменного. В самом деле, если есть к примеру экспонента действительного числа, то что будет если вместо действительного числа подставить комплексное? $$a+b=c$$ $$a_0+b_0+i(a_1+b_1)=c_0+ic_1$$ Поскольку равенство гиперкомплексных чисел также определяется как покомпонентное равенство, то получаем: $$c_0=a_0+b_0$$ $$c_1=a_1+b_1$$ С операцией вычитания все то же самое: $$a-b=c$$ $$a_0-b_0+i(a_1-b_1)=c_0+ic_1$$ $$c_0=a_0-b_0$$ $$c_1=a_1-b_1$$ Для операции произведения комплексных чисел используем свойство $$i^2=-1$$ $$ab=c$$ $$(a_0+ia_1)(b_0+ib_1)=c_0+ic_1$$ $$a_0b_0+ia_1b_0+ia_0b_1-a_1b_1=c_0+ic_1$$ Следовательно, результат произведения $$c_0=a_0b_0-a_1b_1$$ $$c_1=a_1b_0+a_0b_1$$ Если говорить строго, то нет такого правила, что произведение мнимой единицы на мнимую единицу равно -1. Чтобы в вышеприведенном произведении организовать такое произведение мнимой единицы на себя, нужно положить равными нулю и единице соответствующие коэффициенты: $$(0+i1)(0+i1)=-1+i0$$ И, вообще говоря, нет отдельно мнимой единицы или действительной единицы, если идет речь о комплексных числах. В любом случае это комплексное число, не из одного, а из двух компонентов, но с нулевыми и единичными соответствующими компонентами. И в результате произведения двух мнимых единиц получается не действительное число -1, а комплексное $-1 + i0$. Конечно, мы не можем что-то возвести в квадрат так, чтобы получить действительную -1. Но получить комплексное число $-1 + i0$ можем. Из-за такого расширения возможностей мы далее увидим возможность получения, в частности, и логарифма отрицательного числа а при последующих исследованиях и арксинуса от более чем 1.

Это раньше был такой анекдот: "Товарищи курсанты, в военное время значение синуса может доходить до четырех." Анекдотом это было потому что подразумевался аргумент действительное число. В комплексных же числах это обычное дело. В частности, арксинус 4 равен: $$\mathrm{arcsin}(4)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}(\sqrt{15}+4)$$ С операцией деления нам пригодится двухходовка с сопряжением. А именно, если есть число $$a=a_0+ia_1$$ то сопряженным ему (комплексно сопряженным, а также алгебраически сопряженным) является то же самое число с мнимой частью с обратным знаком: $$\overline{a}=a_0-ia_1$$ У этой операции в силу полученного ранее свойства произведения комплексных чисел есть свойство: $$a\overline{a}=|a|^2=a_0^2+a_1^2+i0$$ Здесь $|a|$ это модуль комплексного числа. В силу того, что у этого произведения двух комплексных чисел мнимая часть всегда равна 0, это произведение используется как просто действительное число.

Для того, чтобы найти что такое деление комплексных чисел, сводим задачу к умножению на обратное и к поиску что такое обратное число.Для этого возьмем произведение числа на сопряженное ему $$a\overline{a}=|a|^2$$ и, зная что справа стоит действительное число, поделим на него: $$\frac{a\overline{a}}{|a|^2}=1$$ Вообще говоря, здесь мы предполагаем что любая операция с комплексным числом (а произведение $a\overline{a}$ вообще говоря есть комплексное число), если у него нулевая мнимая часть, эквивалентна такой же операции с действительным числом, с одной только действительной компонентой.

Теперь мы видим, что слева стоит число $a$ умноженное на что-то, и в целом все равно единице: $$a\frac{\overline{a}}{|a|^2}=1$$ Очевидно, что то, что умножается здесь на $a$ справа, и есть число обратное к $a$: $$a^{-1}=\frac{\overline{a}}{|a|^2}$$ Таким образом, деление в комплексных числах выглядит как произведение на нормированное сопряженное: $$c=\frac{a}{b}=a\frac{\overline{b}}{|b|^2}$$ И теперь можем полностью записать операцию деления комплексных чисел: $$c_0+ic_1=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2}+i\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2}$$ $$c_0=\frac{a_0b_0+a_1b_1}{b_0^2+b_1^2}$$ $$c_1=\frac{-a_0b_1+a_1b_0}{b_0^2+b_1^2}$$ Здесь интересным фактом выглядит то, что действительная часть $b_0$ может быть равна 0 $$b_0=0$$ если при этом мнимая часть $b_1$ не равна 0 $$b_1\ne 0$$ Теперь, зная что комплексные числа коммутативны и, зная как в них выглядят операции сложения, вычитания, вмножения и деления, перейдем к рассмотрению функций, в аргументе которых используются комплексные числа.

Ключевой функцией в этом отношении является функция экспоненты и, как мы увидим далее, свойства других функций выводятся из свойств экспоненты.

Функция экспоненты определена как: $$e^x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ Здесь n - натуральное, действительное число и факториал от нуля считается равным единице.

Поскольку алгебра комплексных чисел коммутативна, мы можем подставить вместо $x$ комплексное число без какого-либо изменения формулы.

У функции экспоненты (поскольку это показательная функция) есть важное свойство, которое мы используем $$e^{a+b}=e^ae^b$$ Поскольку действительная и мнимая части комплексного числа коммутируют, мы можем разложить экспоненту комплексного числа: $$e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}e^{ia_1}$$ Значение $e^{a_0}$ есть экспонента от действительного числа, уже известная функция. Для вычисления что такое экспонента мнимого числа разложим ряд: $$e^{ia_1}=1+ia_1-\frac{a_1^2}{2!}-i\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^4}{4!}+ i\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^6}{6!}-i\frac{a_1^7}{7!}+\ldots$$ Это выражение представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого есть ряды: $$1-\frac{a_1^2}{2!}+\frac{a_1^4}{4!}-\frac{a_1^6}{6!}+\ldots$$ $$a_1-\frac{a_1^3}{3!}+\frac{a_1^5}{5!}-\frac{a_1^7}{7!}+\ldots$$ Это выражения для функций тригонометрического косинуса и синуса соответственно. И, значит, общее выражение для экспоненты мнимого числа равно $$e^{ia_1}=\cos(a_1)+i\sin(a_1)$$ Это выражение называется формулой Эйлера.

Следовательно, функция экспоненты от комплексного числа равна: $$e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1)$$ Здесь интересным фактом является то, что, в отличие от функции экспоненты действительного числа, функция экспоненты комплексного числа периодична по мнимой части аргумента: $$e^{a_0+ia_1}=e^{a_0+ia_1+i2\pi n}$$ Теперь еще немного поднимем градус и рассмотрим произведение двух экспонент $$e^c=e^{a+b}=e^ae^b=e^{a_0+ia_1}e^{b_0+ib_1}$$ И в этой формуле положим, что нас будет интересовать частный вариант $$a_0=b_0=0$$ В этом случае $$e^{a_0}=e^{b_0}=1$$ и формула произведения экспонент расписывается по компонентам: $$\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)\left(\cos(b_1)+i\sin(b_1)\right)=$$ $$=\cos(a_1)cos(b1)+i\sin(a_1)\cos(b_1)+$$ $$+i\cos(a_1)\sin(b_1)-\sin(a_1)\sin(b1)$$ и эта формула равна экспоненте результата: $$e^{ic_1}=\cos(c_1)+i\sin(c_1)$$ Зная что комплексные числа равны когда равны их компоненты, получаем: $$\cos(c_1)=\cos(a_1)\cos(b_1)-\sin(a_1)\sin(b_1)$$ $$\sin(c_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1)$$ Зная, что произведение экспонент равно экспоненте суммы $$e^{a}e^{b}=e^{a+b}$$ получаем уравнения суммы синусов и косинусов: $$\cos(a_1+b_1)=\cos(a_1)\cos(b1)-\sin(a_1)\sin(b1)$$ $$\sin(a_1+b_1)=\sin(a_1)\cos(b_1)+\cos(a_1)\sin(b_1)$$ В этой формуле интересны два момента. Во-первых, мы можем из этих формул получить уравнения для двойного угла, приравняв $$a_1=b_1=x$$ $$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$$ $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$ И теперь читатель, умея вывести формулу суммы углов и двойного угла, последовательно при необходимости может вывести формулы тройных и далее кратных углов.

И, во-вторых, интересным применением формулы суммы является получение формулы тригонометрических функций комплексного переменного: $$\cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\cos(ia_1)-\sin(a_0)\sin(ia1)$$ $$\sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\cos(ia_1)+\cos(a_0)\sin(ia_1)$$ Здесь остается выяснить, чему равны тригонометрические функции мнимого аргумента.

Для этого подставим значение $ix$ в качестве аргументов рядов для косинуса и синуса: $$\cos(ix)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\ldots$$ $$\sin(ix)=i\left(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)$$ Эти ряды соответствуют элементарным функциям гиперболического косинуса и гиперболического синуса. $$\mathrm{ch}(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots$$ $$\mathrm{sh}(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots$$ Эти функции во многом аналогичны тригонометрическим косинусу и синусу. В частности, для них выполняется аналог суммы квадратов: $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$ но вместо суммы разность: $$\mathrm{ch}^2(x)-\mathrm{sh}^2(x)=1$$ Также как и тригонометрические косинус и синус они вычисляются в виде части экспоненциального ряда. Но имеют и важные отличия: гиперболические функции не периодичны и не ограничены по значению от -1 до 1. Для них точно так же существуют гиперболические тангенс и котангенс: $$\mathrm{th}(x)=\frac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)}$$ $$\mathrm{cth}(x)=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}$$ И также как и для тригонометрических, для гиперболических синуса и косинуса можно вывести формулы суммы и разности углов и кратного аргумента.

Теперь, зная представление тригонометрических функций мнимого аргумента через гиперболические функции, представим формулы тригонометрических функций комплексного аргумента: $$\cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0)\mathrm{ch}(a_1)-i\sin(a_0)\mathrm{sh}(a_1)$$ $$\sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0)\mathrm{ch}(a_1)+i\cos(a_0)\mathrm{sh}(a_1)$$ Некоторая новизна введения гиперболических функций может вызвать вопрос - а нельзя ли их как-то выразить через что-то более понятное, чем ряды?

Любопытные свойства гиперболических функций видны, если сравнивать представления их рядами с представлением экспоненты, в частности: $$e^x=\mathrm{ch}(x) + \mathrm{sh}(x)$$ Функция гиперболического косинуса, как и тригонометрического косинуса, четная: $$\mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}(x)$$ и функция гиперболического синуса, как и тригонометрического синуса, нечетная: $$\mathrm{sh}(-x)=\mathrm{sh}(x)$$ Поэтому эти функции можно выразить через экспоненту: $$\mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ Соответственно, те кого могут смущать гиперболические функции, могут заменять их на эквивалентную запись через экспоненты, в частности в формулах тригонометрических функций комплексного переменного.

Интересным свойством тригонометрических функций комплексного переменного является то, что они, во-первых, не ограничены значениями от -1 до 1, как функции действительного переменного, и во-вторых, по-прежнему периодичны по действительной части своего аргумента: $$\cos(a_0+ia_1)=\cos(a_0+2\pi n+ia_1)$$ $$\sin(a_0+ia_1)=\sin(a_0+2\pi n+ia_1)$$ Но, в отличие от экспоненты, не периодичны по мнимой чати аргумента.

Используем формулы тригонометрических функций мнимого аргумента $$\cos(ix)=\mathrm{ch}(x)$$ $$\sin(ix)=\mathrm{sh}(x)$$ Для того, чтобы получить выражения гиперболических косинуса и синуса для мнимого аргумента, выполним замену $$x\rightarrow ix$$ и поменяем правые и левые части уравнений местами: $$\mathrm{ch}(ix)=\cos(iix)$$ $$i\mathrm{sh}(ix)=\sin(iix)$$ Учитывая, что косинус является четной функцией, получим: $$\mathrm{ch}(ix)=\cos(x)$$ и, учитывая что синус является нечетной функцией, получим: $$i\mathrm{sh}(ix)=-\sin(x)$$ И умножим здесь левую и правую части на $-i$. Поскольку $-i$ не является ни равной нулю, ни бесконечности величиной, мы вправе это сделать. Тогда получим: $$-ii\mathrm{sh}(ix)=(-i)(-\sin(x))$$ $$\mathrm{sh}(ix)=i\sin(x)$$ Сравнив с соответствующим выражением для тригонометрических функций выражения гиперболических функций мнимого аргумента, видим что они во многом аналогичны.

Теперь получим выражения для гиперболических функций не мнимого, а полного, комплексного аргумента. Можем использовать как формулу тригонометрических функций, так и представление гиперболических функций через экспоненту. Используем второй вариант: $$\mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\mathrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ и подставим вместо $e^x$ экспоненту комплексного числа в выражение гиперболического косинуса: $$\mathrm{ch}(a_0+oa_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}sin(a_1)+ e^{-a_0}\cos(a_1)-ie^{-a_0}sin(a_1) \right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\sin(a_1)=$$ $$=\mathrm{ch}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{sh}(a_0)\sin(a_1)$$ И то же самое проделаем с представлением гиперболического синуса: $$\mathrm{sh}(a_0+ia_1)=\frac{1}{2}\left( e^{a_0}\cos(a_1)+ie^{a_0}\sin(a_1)- e^{-a_0}\cos(a_1)+ie^{-a_0}\sin(a_1) \right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(e^{a_0}-e^{-a_0}\right)\cos(a_1)+ i\frac{1}{2}\left(e^{a_0}+e^{-a_0}\right)\sin(a_1)=$$ $$=\mathrm{sh}(a_0)\cos(a_1)+i\mathrm{ch}(a_0)\sin(a_1)$$ Теперь еще немного поднимем градус и попробуем найти функцию логарифма комплексного числа. Функция логарифма определена как функция, обратная к функции экспоненты (натуральный логарифм): $$\ln(e^x)=x$$ или, если $$e^x=y$$ то $$x=\ln(y)$$ Если нам известна функция экспоненты для комплексного числа $$e^{a_0+ia_1}=e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right)=y_0+iy_1$$ То нам надо найти обратный ход вычислений, выразить $a$ через $y$. В отношении $a_0$ это сделать довольно просто, если использовать понятие модуля $$x\overline{x}=|x|^2$$ В нашем случае искомая величина $e^{a_0}$ и представляет собой такой модуль, поскольку $$e^{a_0}\left(\cos(a_1)+i\sin(a_1)\right) e^{a_0}\left(\cos(a_1)-i\sin(a_1)\right)=$$ $$e^{2a_0}\left(\cos^2(a_1)+\sin^2(a_1)\right)=e^{2a_0}=|e^{a_0}|^2$$ Поэтому просто возьмем модуль числа $y$ и возьмем от него логарифм: $$a_0=\ln\left(\sqrt{y_0^2+y_1^2}\right)$$ Для нахождения значения $a_1$ через компоненты числа $y$ избавимся от значения $a_0$: $$\frac{e^{a_0}\sin(a_1)}{e^{a_0}\cos(a_1)}=\frac{y_1}{y_0}$$ откуда следует, что $$a_1=\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n$$ Итого, соединив вместе выражения для отдельных компонент, получим: $$\ln(y_0+y_1)=\ln\left(\sqrt{y_0+y_1}\right)+ i\left(\mathrm{arctg}\left(\frac{y_1}{y_0}\right)+2\pi n\right)$$ Логарифмы комплексных чисел отличаются от логарифмов действительных чисел в том, что они определены и для отрицательныого аргумента, а также своей периодичностью по мнимой части. Поскольку периодичность по мнимой части никак не зависит от самих значений $y_1$ и $y_0$, логарифм в области комплексных чисел имеет периодичность даже для положительных действительных чисел, чего нет у логарифма в области действительных чисел.

Это свойство логарифма в области гиперкомплексноых чисел имеет следствием, в частности, периодичность вращений.Если есть некоторое вращение, то оператор такого преобразования в точности равен оператору поворота на $2\pi n$ в том же направлении. И, если изначально вращение отсутствует, что выражается нулевой мнимой частью и произвольностью направления этого нуля, то такое полное отсутствие вращения периодично по любому направлению.

Теперь еще немного поднимем градус и найдем функцию взятия корня для комплексного числа. Для этого обратимся к экспоненциальной функции. Если некое число представлено в виде экспоненты $$e^x=y$$ то возведение этого числа в степень $n$ $$y^n$$ эквивалентно умножению показателя экспоненты на $n$: $$y^n=e^{nx}$$ В случае если мы возводим число в квадрат, куб, или другую большую степень, то это число $n$ равно соответственно 2, 3 и так далее, то есть больше 1.

В случае же если мы извлекаем корень $n$-й степени, то мы соответственно показатель степени экспоненты в данном случае делим на $n$.

И, если берем корень квадратный или кубический, то $n$ соответственно равно 2 или 3, если мы на $n$ делим.

Перейдем к формуле Эйлера $$y=e^{x_0+ix_1}=e^{x_0}\left('cos(x_1)+i\sin(x_1)\right)$$ Для того, чтобы взять корень $n$-й степени, надо значение $x$ заменить на $x/n$: $$\sqrt[n]{y}=e^{\frac{x_0+ix_1}{n}}$$ Раскрыв это выражение и немного упростив, получим: $$\sqrt[n]{y}=\sqrt[2n]{y_0^2+y_1^2}\left( \cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right)+ i\sin\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)+2\pi m}{n}\right) \right)$$ здесь $n$ - показатель степени корня, а $m$ - произвольное целое число, выражающее периодичность значения.

Эта формула носит имя Муавра, и известна в нескольких различных вариантах, как для возведения в степень $n$, так и для взятия корня степени $n$ из комплексного числа.

В случае если $n=2$ и изначально комплексное число задано в показательной форме, имеем: $$y=|y|\left(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\right)$$ $$\sqrt{y}=\sqrt{|y|}\left( \cos(\varphi/2)+i\sin(\varphi/2) \right)$$ И для нахождения результата взятия корня не через тригонометрические конструкции типа $$\cos\left(\frac{\mathrm{arctg}(y_1/y_0)}{n}\right)$$ а как-то более кратко используем функции половинного аргумента для тригонометрических косинуса и синуса: $$\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}$$ $$\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}$$ Соответственно, квадратный корень из комплексного числа равен: $$\sqrt{a_0+ia_1}=\pm(y_0+iy_1)$$ где компоненты $y$ равны: $$y_0=\sqrt{\frac{a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}}$$ $$y_1=\mathrm{sgn}(a_1)\sqrt{\frac{-a_0+\sqrt{a_0^2+a_1^2}}{2}}$$ здесь $\mathrm{sgn}$ - функция знака числа.

Теперь мы переходим к одной из самых малоафишируемых тем, к обратным тригонометрическим и обратным гиперболическим функциям. Да, к тем самым, в которых становится понятно выражение арксинуса четырех.

Если рассматривать подходы к образованию некоторым образом издали, то легко можно увидеть два различных по своему содержанию и результатам направления: 1) давайте запомним справочник и 2) давайте поймем как это выводится. Поскольку в первом подходе знаний не содержится, нас и далее будет интересовать второй, хотя и без загромождения тем, что действительно является излишним.

Итак, опишем функцию арксинус комплексного переменного как функцию, обратную функции синус.

Имеем уравнение $$z=\sin(a)$$ Функция синус, как мы уже выяснили ранее, выражается через гиперболический синус, а он в свою очередь через экспоненту: $$\sin(a)=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}$$ Здесь мы ничем не пожертвовали, и у нас по-прежнему $a$ - это комплексное число: $$a=a_0+ia_1$$ В правой части уравнения $\sin(a)$ искомое значение $a$ стоит в двух членах отличающихся степенью. Поэтому сведем уравнение к квадратному уравнению относительно $e^{ia}$, сначала упростив: $$2iz = e^{ia}-e^{-ia}$$ Умножим обе части уравнения на $e^{ia}$, чтобы исключить член с $e^{-ia}$: $$2ize^{ia}=(e^{ia})^2-1$$ А это уже квадратное уравнение относительно $e^{ia}$: $$(e^{ia})^2-2ize^{ia}-1=0$$ Решая квадратное уравнение относительно $e^{ia}$, получим: $$e^{ia}=iz\pm\sqrt{1-z^2}$$ Получив уравнение содержащее $a$ в первом порядке, логарифмируем чтобы выразить $a$: $$ia=\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right)$$ И умножим на $-i$ чтобы получить $a$: $$a=-i\mathrm{ln}\left(iz\pm\sqrt{1-z^2}\right)$$ Здесь справа в качестве $z$ используется комплексное число, аргумент функции тригонометрического арксинуса. Вообще говоря, справа используется и возведение в степень $$z^2=z_0^2-z_1^2+2iz_0z_1$$ и взятие квадратного корня $$\sqrt{1-z^2}$$ и умножение на мнимую единицу $$iz$$ и взятие функции логарифма комплексного переменного, в котором используется арктангенс комплексного переменного и деление комплексного переменного.

И все эти операции применяются к аргументу - комплексному переменному, как к аргументу арксинуса. Обычно учебники по теории функций комплексного переменного ограничиваются перечислением как выразить обратные функции через комплексный логарифм. Приведем список таких обратных функций: $$\mathrm{arcsin(z)}=-i\mathrm{ln}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)$$ $$\mathrm{arccos(z)}=-i\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$$ $$\mathrm{arctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{i-z}{i+z}\right)$$ $$\mathrm{arcctg(z)}=-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z-i}{z+i}\right)$$ $$\mathrm{arsh(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)$$ $$\mathrm{arch(z)}=\mathrm{ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$$ $$\mathrm{arth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)$$ $$\mathrm{arcth(z)}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)$$ Если получены такие выражения, то, имея численные значения $z$, его компонентов, можно вычислить компоненты соответствующих обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Но нас, конечно, будет интересовать как же выглядят на самом деле компоненты обратных функций, то есть эти выражения, полученные не численно, а аналитически. Будем рассматривать лишь функцию $\mathrm{arcsin}(z)$ для примера.

Если есть $$z=x+iy$$ то введем дополнительные переменные или подстановки для сокращения записи: $$u=y^2-x^2+1$$ $$v=u^2+4x^2y^2$$ С такими подстановками выражение арксинуса сокращается до относительно обозримого: $$\mathrm{arcsin}(x+iy)= -\mathrm{arctg}\left(\frac{ \sqrt[4]{v}\sin\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-x}{ \sqrt[4]{v}\cos\left(\mathrm{arctg\left(\frac{2xy}{u}\right)}/2\right)-y}\right)-$$ $$-\frac{i}{2}\mathrm{ln}\left( \left(x-\sqrt[4]{v}\sin\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)\right)^2+ \left(\sqrt[4]{v}\cos\left( \mathrm{arctg}\left(\frac{2xy}{u}\right)/2\right)-y\right)^2 \right)$$ Это если в общей форме. Если же нужно как в вышеприведенном случае найти арксинус четырех, то нужно положить равными: $$x=4$$ $$y=0$$ и после упрощения получится: $$\mathrm{arcsin}(4+i0)=\frac{\pi}{2}-i\mathrm{ln}\left(\sqrt{15}+4\right)$$ Полагаю, что одного взгляда на аналитическую запись арксинуса может оказаться достаточным, чтобы сразу забыть про вариант изучения математики в формате "давайте запомним справочник" и перейти к варианту "будем понимать как вывести и осваивать систему компьютерной алгебры". Масштаб проблемы с упрощением таких выражений огромен и применение автоматических компьютерных средств более чем оправдано.

В работе над этой статьей были использованы пакеты компьютерной алгебры Maxima и MathCAD.