Из таблицы неберущихся интегралов, содержащих функции экспоненты,
всегда можно получить соответствующие им парные неберущиеся интегралы для гиперболических функций sh и ch.
Функция экспоненты выражается через гиперболические функции как $$ e^x = ch(x) + sh(x) $$ Соответственно, для отрицательного аргумента в силу четности функции $ch$ и нечетности $sh$ имеем: $$ e^{-x} = ch(x)-sh(x) $$ И гиперболические функции $sh$ и $ch$ выражаются через функцию экспоненты: $$ ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ Соответственно, мы можем выразить и функции квадрата аргумента: $$ ch(x^2)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+e^{-x^2}\right) $$ $$ sh(x^2)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}-e^{-x^2}\right) $$ Взяв интегралы от левых и правых частей по $x$, получим: $$ \int ch(x^2)dx=\frac{1}{2}\left(\int e^{x^2}dx+\int e^{-x^2}dx\right) $$ $$ \int sh(x^2)dx=\frac{1}{2}\left(\int e^{x^2}dx-\int e^{-x^2}dx\right) $$ Поскольку справа стоят неберущиеся интегралы (носящие название интегралы Пуассона), слева также должны быть неберущиеся интегралы.
Таким образом, используя такой метод, можно для неберущихся интегралов, содержащих экспоненты, найти соответствующие им неберущиеся интегралы содержащие гиперболические функции.
Функция экспоненты выражается через гиперболические функции как $$ e^x = ch(x) + sh(x) $$ Соответственно, для отрицательного аргумента в силу четности функции $ch$ и нечетности $sh$ имеем: $$ e^{-x} = ch(x)-sh(x) $$ И гиперболические функции $sh$ и $ch$ выражаются через функцию экспоненты: $$ ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ $$ sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ Соответственно, мы можем выразить и функции квадрата аргумента: $$ ch(x^2)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+e^{-x^2}\right) $$ $$ sh(x^2)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}-e^{-x^2}\right) $$ Взяв интегралы от левых и правых частей по $x$, получим: $$ \int ch(x^2)dx=\frac{1}{2}\left(\int e^{x^2}dx+\int e^{-x^2}dx\right) $$ $$ \int sh(x^2)dx=\frac{1}{2}\left(\int e^{x^2}dx-\int e^{-x^2}dx\right) $$ Поскольку справа стоят неберущиеся интегралы (носящие название интегралы Пуассона), слева также должны быть неберущиеся интегралы.
Таким образом, используя такой метод, можно для неберущихся интегралов, содержащих экспоненты, найти соответствующие им неберущиеся интегралы содержащие гиперболические функции.
Комментариев нет:
Отправить комментарий