Интегралы Френеля как следующие из интегралов Пуассона

Часть неберущихся интегралов получили собственные названия, это интегралы Пуассона и Френеля. Интегралы Пуассона используются в теории ошибок, а интегралы Френеля в интерферометрии. Тот факт что интегралы Френеля являются неберущимися можно вывести из того, что интегралы Пуассона являются неберущимися.

Интегралы Пуассона: $$\int e^{x^2}dx$$ $$\int e^{-x^2}dx$$ Интегралы Френеля: $$\int \cos(x^2)dx$$ $$\int \sin(x^2)dx$$ Сделав в интеграле Пуссона замену переменной $$x \rightarrow \sqrt[4]{-1}x$$ получим, что неберущимся также должен быть и интеграл $$\sqrt[4]{-1}\int e^{\sqrt{-1}x^2}dx$$ Подинтегральное выражение преобразуем используя формулу Эйлера $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ Получим два интеграла, по одному для действительной и мнимой частей: $$\int e^{ix^2}dx=\int\cos(x^2)dx+i\int\sin(x^2)dx$$ Поскольку в левой части стоит неберущийся интеграл, в правой части также должны быть неберущиеся интегралы.

Таким образом, из того факта, что интегралы Пуассона являются неберущимися, следует что и интегралы Френеля также должны быть неберущимися.