Рассмотрим операцию потенцирования дуальных кватернионов и её результат в покомпонентной
записи.
Потенцированием называется возведение основания натурального логарифма в
заданную степень. Дуальным кватернионом называется гиперкомплексное число алгебры,
полученной удвоением алгебры кватернионов с помощью мнимой единицы $\omega^2=0$.
\begin{equation}
q = q_0 + iq_1 + jq_2 + kq_3 + {\omega}q_4 + {\omega}iq_5 + {\omega}jq_6 + {\omega}kq_7
\end{equation}
Для возведения основания натуральных логарифмов в заданную степень воспользуемся
следующим определением экспоненциальной функции:
\begin{equation}
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots
\end{equation}
Из доказанных её свойств известно, что в случае если есть два числа $a$ и $b$, такие
что они коммутируют по умножению ($ab=ba$), то
\begin{equation}
e^{a+b}={a^a}{e^b}={a^b}{e^a}
\end{equation}
Числа $e^a$ и $e^b$ также коммутируют по умножению. Воспользуемся этим обстоятельством
и представим дуальный кватернион в виде суммы скалярной и векторной частей:
\begin{equation}
q = q_s + q_v
\end{equation}
\begin{equation}
q_s = q_0 + {\omega}q_4
\end{equation}
\begin{equation}
q_v = iq_1 + jq_2 + kq_3 + {\omega}iq_5 + {\omega}jq_6 + {\omega}kq_7
\end{equation}
Тогда экспоненциальная функция дуального кватерниона равна
\begin{equation}
e^q = e^{q_s + q_v} = e^{q_s}e^{q_v} = e^{q_v}e^{q_s}
\end{equation}
поскольку $q_s$ и $q_v$ коммутируют между собой по умножению. Величина $e^{q_s}$
равна:
\begin{equation}
e^{q_s} = e^{q_0 + {\omega}q_4} = e^{q_0}\left(1+{\omega}q_4\right) = e^{q_0} +
{\omega}e^{q_0}q_4
\end{equation}
Таким образом, для получения значения $e^q$ требуется найти величину $e^{q_v}$.
Рассмотрим экспоненциальный ряд:
\begin{equation}
e^{q_v} = 1 + {q_v} + \frac{{q_v}^2}{2!} + \frac{{q_v}^3}{3!} + \ldots + \frac{{q_v}^n}{n!} + \ldots
\end{equation}
В вычислении членов ряда выделяется величина $q_v^2$, поскольку она является скалярной
величиной:
\begin{equation}
q_v^2 = {\left(iq_1 + jq_2 + kq_3 + {\omega}iq_5 + {\omega}jq_6 + {\omega}kq_7\right)}^2 = {\left(q' + {\omega}q''\right)}^2
\end{equation}
где обозначены
$$
q' = iq_1 + jq_2 + kq_3
$$
$$
q'' = iq_5 + jq_6 + kq_7
$$
Рассмотрим квадрат:
\begin{equation}
\left(q' + {\omega}q''\right)^2 = q'^2 + \omega\left(q'q'' + q''q'\right)
\end{equation}
В этой сумме величина $q'^2$ является действительным числом:
\begin{equation}
q'^2 = - q^2_1 - q^2_2 - q^2_3
\end{equation}
а дуальная часть является также скалярным числом, равным удвоенному скалярному произведению
векторов $q'$ и $q''$ в его классическом определении:
\begin{equation}
q'q'' + q''q' = -2\left(q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7\right)
\end{equation}
Таким образом, величина $q_v^2$ является скалярной величиной, поэтому может быть
заменена:
\begin{equation}
q_v^2 = -m^2
\end{equation}
где через $m^2$ обозначено:
\begin{equation}
m^2 = q^2_1 + q^2_2 + q^2_3 + 2\omega\left(q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7\right)
\end{equation}
С использованием этой замены экспоненциальный ряд трансформируется в:
\begin{equation}
e^{q_v} = 1 + q_v - \frac{m^2}{2!} - \frac{m^2q_v}{3!} + \frac{m^4}{4!} + \frac{m^4q_v}{5!}
+ \ldots
\end{equation}
Этот ряд раскладывается на сумму двух рядов, составляющих скалярную и векторную
части:
\begin{equation}
1 - \frac{m^2}{2!} + \frac{m^4}{4!} - \frac{m^6}{6!} + \ldots
\end{equation}
\begin{equation}
q_v\left(1 - \frac{m^2}{3!} + \frac{m^4}{5!} - \frac{m^6}{7!} + \ldots\right)
\end{equation}
Второй из этих рядов домножим и разделим на величину $m=\sqrt{m^2}$, после чего
получим классические выражения для рядов Тейлора функций косинус и синус:
\begin{equation}
e^{q_v} = cos\left(\sqrt{m^2}\right) + \frac{q_v}{\sqrt{m^2}}sin\left(\sqrt{m^2}\right)
\end{equation}
При этом считаем, что взятие корня может быть выполнено однозначно во всех местах,
где он встречается:
\begin{equation}
e^{q_v} = cos\left(\pm\sqrt{m^2}\right) + \frac{q_v}{\pm\sqrt{m^2}}sin\left(\pm\sqrt{m^2}\right)
\end{equation}
В силу четности функции $cos$ и нечетности функции $sin$ получаем, что результат
потенцирования определен однозначным образом. Далее будем рассматривать формулу
\begin{equation}
e^{q_v} = cos\left(\sqrt{m^2}\right) + \frac{q_v}{\sqrt{m^2}}sin\left(\sqrt{m^2}\right)
\end{equation}
В качестве величины $m$ у нас фигурирует дуальное число. Отдельно рассмотрим операции
$\sqrt{m}$, $\frac{1}{m}$, $cos\left(x\right)$ и $sin\left(x\right)$ для случая $x$ - дуальное число.
Операцию деления на дуальное число заменим на операцию умножения на дуальное число.
Выражение $\frac{1}{x}$ домножим и разделим на величину, сопряженную к величине
$x$:
\begin{equation}
\frac{1}{x_0 + {\omega}x_1} = \frac{x_0 - {\omega}x_1}{\left(x_0 + {\omega}x_1\right)
\left(x_0 - {\omega}x_1\right)} = \frac{x_0 - {\omega}x_1}{x_0^2} =
\frac{1}{x_0} - {\omega}\frac{x_1}{x_0^2}
\end{equation}
Для вычисления значения $\sqrt{x}$ решим относительно $x$ уравнение:
$$
x^2 = a,
$$
где $x$ и $a$ - дуальные числа:
\begin{equation}
\left(x_0 + {\omega}x_1\right)^2 = x_0^2 + 2{\omega}x_0x_1 = a_0 + {\omega}a_1
\end{equation}
Решив систему уравнений
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
x_0^2 &= a_0^2 \\
2x_0x_1 &= a_1
\end{array}
\right.
\end{equation}
получим, что
\begin{equation}
\sqrt{x} = \sqrt{x} + {\omega}\frac{1}{2}\frac{x_1}{\sqrt{x_0}}
\end{equation}
Кстати, приведем общую формулу вычисления корня из дуального числа:
\begin{equation}
\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x_0 + {\omega}x_1} = \sqrt[n]{x_0} + {\omega}\frac{x_1}{n\sqrt[n]{x_0^{n-1}}}
\end{equation}
Вычислим выражение $cos\left(x\right)$ для случая, когда $x$ является дуальным числом,
разложив функцию в ряд Тейлора и приведя подобные компоненты:
\begin{equation}
cos\left(x\right) = 1 - \frac{x_2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots
= cos\left(x_0\right) - {\omega}x_1sin\left(x_0\right)
\end{equation}
Аналогичное равенство для синуса дуального числа:
\begin{equation}
sin\left(x_0 + {\omega}x_1\right) = sin\left(x_0\right) + {\omega}x_1cos\left(x_0\right)
\end{equation}
Таким образом, осталось соединить вместе полученные выше формулы, чтобы получить
выражение для экспоненты дуального кватерниона:
\begin{equation}
m^2 = q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + 2{\omega}\left(q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7\right)
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{m^2} = \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} +
{\omega}\frac{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{m^2}} = \frac{1}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}} -
{\omega}\frac{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}{{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}^3}
\end{equation}
\begin{equation}
cos\left(\sqrt{m^2}\right) = cos\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} -
{\omega}\frac{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}sin\left(\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
sin\left(\sqrt{m^2}\right) = sin\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2} +
{\omega}\frac{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}{\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}cos\left(\sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}\right)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
e^q = e^{q_0}\left(1+\omega q_4\right)\biggl(
{\cos{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}-\omega\frac{{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}}{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}\sin{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}}
+\nonumber\\
+ \left({iq_1 + jq_2 + kq_3 + \omega iq_5+\omega jq_6 + \omega kq_7}
\right)\left(
{\frac{1}{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}-\omega\frac{{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}}{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}^3}}
\right) \\
\left({\sin{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}+\omega\frac{{q_1q_5 + q_2q_6 + q_3q_7}}{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}\cos{\sqrt{{q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}}}}
\right)\biggr)\nonumber
\end{eqnarray}
Комментариев нет:
Отправить комментарий