Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

вторник, 14 июня 2016 г.

Скалярное произведение матриц

Книга о преобразованиях гиперкомплексных чисел после ее выхода продолжает дописываться и в ней появились интересные параграфы, один из которых представляю здесь.
Если продолжить принцип взаимного отношения на алгебры другого вида, не на гиперкомплексные числа, то потребуется использовать алгебры, в которых определена операция умножения и взятия обратного элемента к заданному.

Обе эти категории существуют в алгебре матриц. Для матриц мы имеем и операцию произведения матриц, и операцию получения обратной к заданной так, что результат принадлежит к той же алгебре.

Для получения скалярного произведения матриц A и B надо взять их взаимное отношение в виде ABT После чего у этой величины взять инвариантный скаляр. Таким скалярным инвариантом является след матрицы. Или (A,B)=tr(ABT) Если исходные матрицы A и B преобразуются ACABCB то скалярное произведение этих матриц преобразуется: (A,B)(CA,CB)=tr(CABTCT) И в случае если определитель матрицы преобразования единичный |C|=1 то след при таком преобразовании инвариантен: tr(CABTCT)=tr(ABT) И, таким образом, формула скалярного произведения матриц может быть использована в качестве определения скалярного произведения квадратных матриц с операцией ортогонального преобразования. Свойства коммутативности и линейности такого определения скалярного произведения вытекают из свойств транспонирования и следа квадратных матриц.

Как следствие задания скалярного произведения для матриц, возможно также применение к матрицам понятия их ортогональности, а именно, матрицы A и B ортогональны, если tr(ABT)=0 Как следствие определения ортогональности матриц, существует также вариант теоремы Пифагора для них: tr((A+B)(A+B)T)=tr(AAT)+tr(BBT) Если обратить внимание на то, что в формуле скалярного произведения матриц рассматривается произведение матриц ABT, то, формально говоря, это могут быть и матрицы с разным числом строк и столбцов n×m, где nm, вплоть до крайних случаев где n=1 или m=1, что соответствует фактически аналогам векторов. Для таких вырожденных в вектора матриц получаем классическое определение скалярного произведения векторов в виде суммы покомпонентных их произведений.

Любопытно, что и преобразование матриц C может быть произвольной допустимой для умножения, а не только квадратной матрицей, но в этом случае конечно не применимо утверждение о единичности ее определителя.

По смыслу определения скалярного произведения матриц мы можем его применять лишь к матрицам с одинаковым числом строк и столбцов. В результате произведения матрицы на матрицу той же структуры, но транспонированную, получается квадратная матрица, что требуется для взятия следа.

Формально говоря, выбор скалярного произведения в форме (A,B)=tr(ABT) не приводит к правилу получения квадрата нормы объекта при взятии скалярного произведения этого объекта с самим собой. Для того чтобы это выполнялось нужно определить скалярное произведение матриц как (A,B)=tr(AB1|B|2) Здесь именно величина B1|B|2 задает построение отношения в полной мере.

Но такое определение скалярного произведения для матриц не является коммутативным по аргументам (A,B)(B,A) и не может быть отнесено к не квадратным матрицам и следовательно к векторам как частному случаю матрицы.

Комментариев нет:

Отправить комментарий