Начала анализа в области дуальных чисел

Введение

Среди алгебр Кэли есть несколько алгебр, являющихся несколько экзотичными и одновременно с тем обнаруживающих довольно любопытные свойства. С одной стороны, их экзотичность и малоизвестность могут отодвинуть их от практического использования, с другой стороны, их свойства могут заинтересовать не только математиков, но и инженеров, и приблизить тем самым их применение в тех задачах, где это целесообразно.

Эта статья посвящена дуальным числам. Дуальные числа есть наиболее простая и легко понимаемая алгебра из охарактеризованных выше. Более сложные алгебры, использующие дуальную мнимую единицу, еще более интересны и имеют еще более интересные свойства. И к основной из задач этой статьи автор относит не столько получение учебника, сколько раскрытие мира гиперкомплексных чисел перед читателем. Не секрет, что в настоящее время в инженерном подходе находят применение в основном комплексные числа. Механизм их использования хорошо проработан и входит в багаж знаний практически любого выпускника ВУЗа. Но у этой ситуации есть и обратная сторона - у инженера может сложиться довольно превратное представление о гиперкомплексных числах в целом; незнание иных алгебр кроме алгебры копмлексных чисел может вызвать желание решать задачи только с использованием комплексных чисел. Одновременно с тем часть задач решается гораздо проще (и вообще решается) с применением иных гиперкомплексных алгебр в силу того, что в решении задач используются свойства алгебр, а у разных алгебр они разные.

Представляется вполне достойной внимания идея изучения не только комплексных чисел, но и иных с тем, чтобы при возникновении практической задачи можно было бы выбрать наиболее подходящий для нее инструментарий.

Данная статья рассматривает дуальные числа с точки зрения их строения, алгебраических свойств, построения функций дуальных чисел и начал анализа. И автор надеется, что статья восполнит пробел в современных публикациях. Одновременно с тем не стоит полагать, что это единственный материал по анализу дуальных чисел. Ранее выходили книги аналогичного содержания, например книги Диментберга Фёдора Менасьевича по теме винтового исчисления. К сожалению, найти их довольно непросто, разве что в крупных библиотеках. Публикация же в Интернете сделает материал доступным гораздо большему количеству читателей. Кроме того, электронные публикации не портятся со временем.

Определение дуальных чисел

Алгебра дуальных чисел образуется удвоением по Кэли алгебры действительных чисел: $$ Q=D_1+E\cdot D_2 $$ С мнимой единицей удвоения $E^2=0$. Дуальное число есть пара действительных чисел, которые называют его компонентами. Обычно дуальную мнимую единицу обозначают буквой $\omega$. Тогда дуальное число может быть представлено: $$ q = q_0+\omega q_1 $$ В такой записи дуального числа $q$ его компоненты $q_0$ и $q_1$ называются действительной (или главной) и дуальной (или мнимой) частями соответственно. Таблица произведений единиц базиса дуальных чисел имеет вид: $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \ 1 \ & \ \omega \ \\ \hline \ 1 \ & \ 1 \ & \ \omega \ \\ \hline \ \omega \ & \ \omega \ & \ 0 \ \\ \hline \end{array} $$ Дуальные числа $q$ и $p$ считаются равными, если равны их компоненты: $$ \begin{array}{c} q_0+\omega q_1 = p_0+\omega p_1 \\ q_0 = p_0 \\ q_1 = p_1 \end{array} $$ Дуальное число $p$ равно нулю в случае, если $p_0=0$ и $p_1=0$.

Как и для других гиперкомплексных чисел, операции сложения и вычитания для дуальных чисел определяются покомпонентно: $$ p\pm q=(p_0\pm q_0)+\omega (p_1\pm q_1) $$ Мнимую часть дуального числа также иногда называют моментной частью, а отношение мнимой части к действительной называют параметром: $$ P(p)=\frac{p_1}{p_0} $$ или $$ p=p_0\left(1+\omega\frac{p_1}{p_0}\right)=p_0\left(1+\omega P(p)\right) $$ если $$ p_0\neq 0 $$

Свойства дуальных чисел

В силу определения мнимой единицы $\omega^2=0$ для умножения дуальных чисел получаем формулу: $$ pq=(p_0+\omega p_1)(q_0+\omega q_1)=p_0q_0+\omega(p_0q_1+q_0p_1) $$ Для деления при $q_0\neq 0$ получим: $$ \frac{p}{q}=\frac{p_0}{q_0}+\omega\frac{p_1q_0-q_1p_0}{q_0^2} $$ Для возведения дуального числа в степень справедлива формула: $$ p^n=(p_0+\omega p_1)^n=p_0^2+\omega n p_1 p_0^{n-1} $$ Для извлечения корня степени $n$ из дуального числа $p$ справедлива формула: $$ \sqrt[n]{p}=\sqrt[n]{p_0+\omega p_1}=\sqrt[n]{p_0}+\omega\frac{p_1}{n\sqrt[n]{p_0^{n-1}}} $$ В случае же $p_0=0$ операция извлечения корня не определена.

Для параметра дуального числа справедливы два интересных соотношения:

1. Параметр произведения дуальных чисел равен сумме параметров сомножителей: $$ P(pq)=P(p)+P(q) $$ 2. Параметр частного двух дуальных чисел равен разности параметров делимого и делителя: $$ P\left(\frac{p}{q}\right)=P(p)-P(q) $$ Так как для числа $p$ где $p_0=0$ параметр равен бесконечности и, поскольку действительная часть произведения равна произведению действительных частей, действительную часть дуального числа принято называть модулем дуального числа: $$ |p|=p_0 $$ При таком выборе определения модуля для дуального числа сохраняется его основное свойство мультипликативности: $$ |p \cdot q|=|p|\cdot|q| $$

Функция и дифференциал функции

Будем следовать классическому определению функции как закону отображения области определения в область значений. В случае, если областью определения и областью значений является область дуальных чисел, функцию можно представить покомпонентно: $$ f(x)=f_0(x_0,x_1)+\omega f_1(x_0,x_1) $$ где $f_1$ и $f_2$ - две вещественные функции от двух аргументов.

К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Я так же присоединяюсь к этому мнению в силу чрезвычайной важности этого соотношения: $$ e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$ и для случая дуальных чисел имеем: $$ e^{x_0+\omega x_1}=e^{x_0}+\omega x_1e^{x_0}=e^{x_0}\left(1+\omega x_1\right) $$ В частности, $$ e^{\omega x_1}=1+\omega x_1 $$ Для элементарных функций дуального аргумента справедливы соотношения: $$ \sin(p)=\sin(p_0)+\omega p_1 \cos(p_0) $$ $$ P(\sin(p))=p_1\mathrm{ctg}(p_0) $$ $$ \cos(p)=\cos(p_0)-\omega p_1\sin(p_0) $$ $$ P(\cos(p))=-p_1\mathrm{tg}(p_0) $$ $$ \mathrm{tg}(p)=\mathrm{tg}(p_0)+\omega\frac{p_1}{\cos^2(p_0)} $$ $$ P(\mathrm{tg}(p))=\frac{p_1}{\sin(p_0)\cos(p_0)} $$ $$ \ln(p)=\ln(p_0)+\omega\frac{p_1}{p_0} $$ $$ P(\ln(p))=\frac{p_1}{p_0\ln(p_0)} $$ $$ e^{p+q}=e^pe^q $$ Для дифференциала функции дуального аргумента также используем классическое определение дифференциала как разность значений функции до и после приращения аргумента: $$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x) $$

Аналог уравнений Коши-Римана

В теории функций комплексного переменного особую важность имеют аналитические функции, для которых предел отношения приращения функции к приращению аргумента не зависит от отношения мнимой и действительной частей приращения аргумента. Что на комплексной плоскости иллюстрируется независимостью производной от направления приращения аргумента. Обозначив производную функции $f$ как $f'$, получим: $$ df(x)=f'(x)dx $$ В теории конформных отображений сей факт может быть трактован геометрически - угол между направлением приращения функции и направлением приращения аргумента зависит только от точки, в которой взята производная.

Рассмотрим аналогичное требование для случая дуального переменного и посмотрим, что из этого получится: $$ \frac{df}{dx}=\frac{df_0(x_0,x_1)+\omega df_1(x_0,x_1)}{dx_0+\omega dx_1}= $$ $$ =\left(\frac{\partial f_0}{\partial x0}+\frac{\partial f_0}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dx_0}\right)+\omega\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_0}+ \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}-\frac{\partial f_0}{\partial x_0}\right) \frac{dx_1}{dx_0}-\frac{\partial f_0}{\partial x_1} \left(\frac{dx_1}{dx_0}\right)^2 \right) $$ Чтобы удовлетворить поставленному ограничению, следует положить равными нулю множители перед $dx_1/dx_0$. Тогда получим: $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial f_0}{\partial x_1} = 0 \\ & \frac{\partial f_1}{\partial x_1} = \frac{\partial f_0}{\partial x_0} \end{aligned} \right. $$ Эти соотношения и есть аналог уравнений Коши-Римана для функций дуального переменного. Из первого из этих соотношений вытекает, что функция $f_0$ есть функция только переменной $x_0$: $$ f_0(x_0,x_1)=f_0(x_0) $$ А из второго - выражение для $f_1$: $$ f_1(x_0,x_1)=x_1\frac{\partial f_0}{\partial x_0}+f_2(x_0) $$ где $f_2(x_0)$ - некоторая функция только одного переменного $x_0$. Таким образом, общее выражение функции дуального переменного $$ x=x_0+\omega x_1 $$ удовлетворяющее независимости производной от направления приращения аргумента, будет иметь вид: $$ f(x)=f_0(x_0)+\omega\left(x_1\frac{\partial f_0}{\partial x_0}+f_2(x_0)\right) $$ В случае вещественного $x$ ($x_1=0$) функция будет иметь вид: $$ f(x)=f_0(x_0)+\omega f_2(x_0) $$ Положим, что в общем случае функция дуального переменного зависит также от дуальных параметров $A$, $B$, $C$, ... и определим её с помощью ряда Тейлора, в котором $\omega x_1$ играет роль приращения и положим равными нулю все члены, содержащие $\omega$ в степени выше первой. $$ f(x,A,B,C,\ldots)=f(x_0,a_0,b_0,c_0,\ldots)+ $$ $$ +\omega\left(x_1\frac{\partial f_0}{\partial x_0}+ a_1\frac{\partial f_0}{\partial a_0}+ b_1\frac{\partial f_0}{\partial b_0}+ c_1\frac{\partial f_0}{\partial c_0}+\ldots\right) $$ Сравнив с выражением для функции одного переменного, получим: $$ f_0=f(x_0,a_0,b_0,c_0,\ldots) $$ $$ f_2=a_1\frac{\partial f_0}{\partial a_0}+ b_1\frac{\partial f_0}{\partial b_0}+ c_1\frac{\partial f_0}{\partial c_0}+\ldots $$ Действительная часть функции равна функции от действительных частей величин, от которых она зависит. Также из приведенных соотношений можно сделать важный вывод, а именно: функция дуальной переменной $x=x_0+\omega x_1$ полностью определяется функцией от главной части переменной, $x_0$. Отсюда также следует, что если главные части двух функций тождественно равны, то равны и сами эти функции.

Используя соотношения Коши-Римана для функций дуального переменного, можем получить выражение для производной функции $f(x)$: $$ \frac{df(x)}{dx}=\frac{\partial f_0}{\partial x_0}+ \omega\left( x_1\frac{\partial^2 f_0}{\partial x_0}+\frac{\partial f_2}{\partial x_0} \right) $$ Таким образом, дифференцирование по дуальной переменной $x$ сводится к дифференцированию по вещественной переменной $x_0$.

Если некоторая функция $\varphi(x)$, являющаяся главной частью $F(x)$, тождественно равна $\partial f_0/\partial x_0$, то отсюда будет следовать, что функция $F(x)$ будет равна $df/dx$. Дифференцируя равенство $$ f_0=F(x_0,a_0,b_0,c_0,\ldots) $$ и $$ f_2=a_1\frac{\partial f_0}{\partial a_0}+ b_1\frac{\partial f_0}{\partial b_0}+ c_1\frac{\partial f_0}{\partial c_0}+\ldots $$ по $x$, на основании равенства $\varphi=\partial f_0/\partial x_0$ получим: $$ \frac{df_2}{dx_0}= a_1\frac{\partial}{\partial a_0}\left(\frac{\partial f_0}{\partial x_0}\right)+ b_1\frac{\partial}{\partial b_0}\left(\frac{\partial f_0}{\partial x_0}\right)+\ldots= $$ $$ =a_1\frac{\partial \varphi}{\partial a_0}+ b_1\frac{\partial \varphi}{\partial b_0}+\ldots $$ Откуда получим: $$ \frac{df}{dx}=\frac{\partial f_0}{\partial x_0}+ \omega\left(x_1\frac{\partial}{\partial x_0}\left(\frac{\partial f_0}{\partial x_0}\right)+\frac{\partial f_2}{\partial x_0}\right)= \varphi+\omega\left(x_1\frac{\partial \varphi}{\partial x_0}+ \varphi_2(x_0)\right)=F $$ Если $F$ - функция дуальной переменной $x$ и дуальных параметров $A$, $B$, $C$, ..., то функцию $G$ от тех же величин, тождественно удовлетворяющую уравнению $$ dG=Fdx $$ назовем интегралом от $Fdx$ и обозначим так: $$ G=\int Fdx=g_0+\omega\left(x_1\frac{\partial g}{\partial x_0}+ a_1\frac{\partial g}{\partial a_0}+ b_1\frac{\partial g}{\partial b_0}+\ldots\right) $$ Отсюда следует, что $$ g_0(x_0)=\int f_0(x_0)dx_0 $$ Таким образом, в области дуальных чисел сохраняются все теоремы дифференциального и интегрального исчислений. Приведем основные соотношения для элементарных функций: $$ \frac{d\left(x^n\right)}{dx}=nx^{n-1} $$ $$ \frac{d}{dx}e^x=e^x $$ $$ \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} $$ $$ \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) $$ $$ \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x) $$

Оператор дифференцирования в области дуальных чисел

Обратим внимание на форму классического определения производной функции: $$ f'=\frac{d}{dx}f $$ Здесь $d/dx$ обозначено специальное математическое понятие - функциональный оператор, или отображение одной функции (из области определения оператора) на другую (из области значений оператора).

Зададимся вопросом - можно ли составить аналогичный оператор для функций дуального переменного? Распишем выражение для производной покомпонентно: $$ f'=g=af $$ $$ \left\{\begin{aligned} & g_0=a_0f_0+0f_1 \\ & g_1=a_0f_1+a_1f_0 \end{aligned}\right. $$ Сопоставив с уравнениями Коши-Римана, получим равенство: $$ \left\{\begin{aligned} & a_0=\frac{\partial}{\partial x_0} \\ & a_1=\frac{\partial}{\partial x_1} \end{aligned}\right. $$ Таким образом, составной оператор дифференцирования функции дуального переменного имеет вид: $$ f'=\nabla f $$ $$ \nabla = \frac{\partial}{\partial x_0} + \omega \frac{\partial}{\partial x_1} $$ Как и следовало ожидать, подтверждается тот факт, что функция дуального переменного полностью определяется функцией от главной части переменной: $$ f'=\nabla f=\left(\frac{\partial}{\partial x_0}+ \omega\frac{\partial}{\partial x_1}\right) \left(f_0+\omega f_1\right)= \frac{\partial f_0}{\partial x_0}+ \omega\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_0}+ \frac{\partial f_0}{\partial x_1}\right) $$ что в силу условий Коши-Римана равно: $$ \frac{\partial f_0}{\partial x_0}+ \omega\frac{\partial f_0}{\partial x_1} $$ Отметим, что в отличие от комплексных и паракомплексных чисел, гиперкомплексный оператор дифференцирования в области дуальных чисел не получает множителя 1/2 перед своими компонентами. В области комплексных чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид: $$ \nabla =\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_0}+ i\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_1}, \ (i^2=-1) $$ В области паракомплексных чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид: $$ \nabla =\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_0}+ i\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_1}, \ (i^2=1) $$ Этот факт объясняется тем, что для составления полного оператора дифференцирования следует использовать различные виды дифференцирования - как по переменной, так и по сопряженной переменной. В случае же дуальных чисел сопряженные числа различаются с числами только с точки зрения алгебраических операций. Операция же дифференцирования в области функций дуальных чисел такого сопряжения не различает, поскольку, повторимся еще раз, функция дуального переменного полностью определяется функцией от главной части переменной.

Выводы

В статье были рассмотрены вопросы строения алгебры дуальных чисел и начала анализа в области дуальных чисел. Был построен аналог уравнений Коши-Римана для функций дуального переменного и гиперкомплексный оператор дифференцирования. Основное внимание заострялось на той особенности функций дуального переменного, что функция полностью определяется функцией от главной части переменной.

В работе над статьей была использована книга Диментберга Федора Менасьевича "Винтовое исчисление". Автор надеется, что тема анализа в области не только комплексного переменного, но и в области других гиперкомплексных переменных будет впоследствии развита и принесет ощутимую пользу в технических, физических и математических областях.